Zadanie nr 4267355

W trapezie równoramiennym o podstawach długości 20 i 40, oraz kącie ostrym o mierze 30∘ połączono środki wszystkich boków. Oblicz pole otrzymanego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Od razu widać, że z trójkąta AKD można wyliczyć długości wysokości i ramienia trapezu.

√ -- √ -- AK-- ∘ --3- 20-- 20--3- AD = cos3 0 = 2 ⇒ AD = √ 3-= 3 √ -- √ -- DK-- ∘ --3- 10---3 AK = tg 30 = 3 ⇒ DK = 3 .

Sposób I

Zamiast liczyć pole czworokąta, łatwo można policzyć pola trójkątów, które do niego nie należą. Ponieważ sin ADC = sin 150∘ = sin 30∘ , więc suma tych pól jest równa

PAEH + PEBF + PFCG + PGDH = 1 = -(AE ⋅AH + EB ⋅BF + FC ⋅ CG + GD ⋅DH )⋅sin 30∘ = 2 ( √ -- √ -) 1 1 10 3 1 0 3 = 2(AE ⋅AH + GD ⋅DH ) = 2- 20⋅ --3---+ 1 0⋅---3-- = √ -- 1 300 3 √ -- = --⋅-------= 50 3. 2 3

Aby otrzymać interesujące na pole czworokąta, musimy to pole trójkątów odjąć od pola trapezu.

√ -- AB + CD √ -- 10 3 √ -- √ -- √ -- √ -- P = ----------⋅DK − 50 3 = 30⋅ ------− 50 3 = 1 00 3− 50 3 = 50 3. 2 3

Sposób II

Jeżeli popatrzymy na trójkąty ABD i CDB to z twierdzenia Talesa, dostajemy HE = FG = 1 BD 2 . Podobnie zauważamy, że EF = HG = 1AC 2 . Zatem interesujący nas czworokąt jest rombem i jego pole jest równe połowie iloczynu długości przekątnych. Przekątną mamy już wyliczoną, a druga przekątna to odcinek łączący środki ramion trapezu, więc ma długość (znany fakt)