Zadanie nr 4601113

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości i , a jego przekątna ma długość . Wyznacz cosinus kąta między przekątnymi tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Jak wyliczyć szukany cosα ? Najprościej byłoby zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta ABS . Aby to zrobić musimy najpierw wyliczyć długość odcinka AS = x . Kluczowe do tego jest podobieństwo trójkątów ABS i CDS . Dzięki niemu, oraz dzięki równości x + y = d mamy

{ x = a y b x+ y = d.

Mamy stąd

xb = a(d− x) xb = ad− ax xa + xb = ad ad x = -----. a+ b

No i możemy napisać twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABS :

2 2 2 a = x + x − 2x ⋅x⋅ cosα a 2 = 2x2(1 − cos α) 2 a---= 1 − co sα 2x2 a2 cosα = 1− -2a2d2- (a+b)2 2 cosα = 1− (a-+-b)-. 2d 2

Sposób II

Tym razem bądźmy sprytniejsi i poprowadźmy przez punkt prostą równoległą do przekątnej (prawy rysunek). Punkt wspólny tej prostej i podstawy oznaczmy przez .

Zauważmy, że czworokąt CDBE jest równoległobokiem, więc BE = DC = b i CE = DB = d . Ponadto ∡ACE = ∡ASB = α . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AEC .