Zadanie nr 6104929
W trapezie równoramiennym , w którym
, dane są
,
. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt
, gdzie
jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Niech i
będą spodkami wysokości trapezu opuszczonych z wierzchołków
i
, a
niech będzie rzutem punktu
na prostą
. Mamy wtedy
![AB-−--EF-- 84-−-36- AE = F B = 2 = 2 = 24 EF 36 EK = KF = ---= ---= 18. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6104929/HzadR8x.gif)
Z trójkąta prostokątnego obliczamy wysokość trapezu
![∘ ---2-----2- ∘ --2-----2- √ ----- FC = BC − F B = 40 − 24 = 10 24 = 32.](https://img.zadania.info/zad/6104929/HzadR10x.gif)
Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość przekątnej trapezu.
![∘ ---2------2 ∘ --2-----2- √ ----- AC = AF + FC = 60 + 32 = 4624 = 68 .](https://img.zadania.info/zad/6104929/HzadR12x.gif)
Zauważmy teraz, że trójkąty prostokątne i
mają wspólny kąt ostry, więc są podobne. Mamy stąd
![h AK 24 + 18 4 + 3 7 7 11 2 ----= ---- = ------------- = ----------= --- ⇒ h = ---⋅ 32 = ---- FC AF 2 4+ 1 8+ 18 4 + 3 + 3 10 1 0 5 AP-- AK-- -7- 7-- 238- AC = AF = 1 0 ⇒ AP = 10 ⋅68 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/6104929/HzadR15x.gif)
Pozostało teraz obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt – korzystamy ze wzoru na pole
, gdzie
jest połową obwodu trójkąta. Mamy więc
![P- -----12AB--⋅P-K----- ----84-⋅ 1152-- ----84-⋅112----- 9408- r = p = 1 = 238- 238-= 420 + 23 8+ 2 38 = 896 = 10,5. 2(AB + BP + AP ) 8 4+ 5 + 5](https://img.zadania.info/zad/6104929/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: 10,5