/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny/Z przekątną

Zadanie nr 9237691

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna ma długość ramienia trapezu i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąt ABD jest prostokątny równoramienny, więc ∡DAB = ∡DBA = 4 5∘ (jest to połówka kwadratu). Zatem

-- -- AB = AD √ 2 ⇒ AD = BD = A√B--= 3√ 2. 2

Trójkąt BCD jest również połówką kwadratu (bo jest prostokątny i ∡DBC = 90∘ − ∡ABD = 4 5∘ ), czyli

BD-- DC = BC = √ --= 3 2

(mogliśmy też zauważyć, że ramię BC ma długość wysokości trójkąta ABD , czyli połowie podstawy AB ).

Zatem obwód trapezu jest równy

√ -- √ -- O = AB + BC + CD + DA = 6 + 3 + 3 + 3 2 = 12+ 3 2.

 
Odpowiedź: √ -- 12 + 3 2

Wersja PDF