/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny/Różne

Zadanie nr 7449775

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższe ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 30. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie ABCD jest równy 43 , oblicz długości jego podstaw.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Jeżeli oznaczymy CD = EB = a i DE = CB = h to z podanego tangensa mamy

4 h 3 --= tgα = ---- ⇒ AE = -h. 3 AE 4

Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

AE 2 + ED 2 = AD 2 9--2 2 2 16h + h = 1 0 25 √ - --h2 = 1 02 / 16 5h = 10 / ⋅ 4 4 5 h = 8.

Zatem

3- AE = 4h = 6

i pozostało skorzystać z podanego obwodu.

AD + DC + CB + BE + AE = 30 10 + a + 8 + a + 6 = 3 0 2a = 6 ⇒ a = 3.

Zatem podstawy mają długości a = 3 i a+ AE = 3 + 6 = 9 .

Sposób II

Jeżeli oznaczymy CD = EB = a i DE = CB = h to z podanego obwodu mamy

30 = AD + DC + CB + BA 30 = 10 + a + h + a + AE AE = 20 − 2a − h .

Z podanego tangensa mamy

4-= tgα = -h-- ⇒ AE = 3h. 3 AE 4

Podstawiamy to w poprzedniej równości i mamy

3 -h = 20 − 2a − h 4 7h = 20 − 2a / ⋅ 4- 4 7 8-0 8- h = 7 − 7a.

Stąd

3- 60- 6- AE = 4h = 7 − 7a.

Teraz pozostało napisać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

2 2 2 AE + ED = AD ( ) 2 ( ) 2 60-− 6a + 80-− 8-a = 102 7 7 7 7 ( ) 2 ( ) 2 6-(10− a) + 8-(10− a) = 102 7 7 36 2 64 2 2 ---(10− a) + --(10 − a ) = 10 49 49 100-(10 − a)2 = 102 /√ - 49 10- 7-- 7 (10− a) = 10 / ⋅10 (10 − a) = 7 ⇒ a = 3.

Zatem podstawy mają długości a = 3 i

60 6 60 18 AB = AE + a = ---− -a + a = ---− ---+ 3 = 6+ 3 = 9. 7 7 7 7

 
Odpowiedź: 3 i 9

Wersja PDF