Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
Zaloguj się

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5712172

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD . Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy ∡ABC = 2 α i ∡BCD = 2β .

PIC

Zauważmy, że

2α + 2β = ∡ABC + ∡BCD = 180∘ ⇒ α + β = 90∘.

Stąd

∡EF C = 180∘ − ∡CF B = 18 0∘ − (1 80∘ − (α+ β)) = α + β = 90∘.

Mamy zatem

∘ ∘ ∘ ∡EDC + ∡EF C = 90 + 90 = 180 .

Suma dwóch pozostałych kątów czworokąta EF CD też jest równa ∘ 18 0 , bo suma wszystkich kątów czworokąta jest równa ∘ 36 0 . Zatem rzeczywiście

∡EDC + ∡EF C = 18 0∘ = ∡DEF + ∡F CD .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!