/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 5712172

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD . Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡ABC = 2 α i ∡BCD = 2β .

PIC

Zauważmy, że

2α + 2β = ∡ABC + ∡BCD = 180∘ ⇒ α + β = 90∘.

Stąd

∡EF C = 180∘ − ∡CF B = 18 0∘ − (1 80∘ − (α+ β)) = α + β = 90∘.

Mamy zatem

∘ ∘ ∘ ∡EDC + ∡EF C = 90 + 90 = 180 .

Suma dwóch pozostałych kątów czworokąta EF CD też jest równa ∘ 18 0 , bo suma wszystkich kątów czworokąta jest równa ∘ 36 0 . Zatem rzeczywiście

∡EDC + ∡EF C = 18 0∘ = ∡DEF + ∡F CD .
Wersja PDF