/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu

Zadanie nr 5703408

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt styczności okręgu o promieniu r wpisanego w trapez równoramienny dzieli ramię trapezu w stosunku 2:5. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy DE = DG = 2x .

PIC

Z podanych informacji wiemy, że EA = AF = 5x . W takim razie, prowadząc wysokość DH mamy AH = AF − HF = 3x . Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta AHD .

AH 2 + HD 2 = AD 2 2 2 2 9x + 4r = 49x 4 0x2 = 4r2 √ --- --1-- --10- x = √ ---r = 10 r. 1 0

Zastanówmy się teraz co mamy obliczyć. Okrąg opisany na trapezie jest w szczególności opisany na trójkącie ABD , możemy więc obliczyć jego promień R z twierdzenia sinusów.

-BD----= 2R sin ∡A

Z sinusem nie ma problemu

√ --- sin ∡A = DH-- = --2r√----= -2√0---= 2--10-. DA 7⋅ -10r 7 10 7 10

Co do przekątnej BD , to obliczamy ją z trójkąta prostokątnego DHB .

∘ ------------- ∘ -------------- DB = DH 2 + HB 2 = (2r)2 + (7x )2 = ∘ ----------- ∘ ----- √ --- √ --- √ --- = 4r2 + 49-r2 = 89-r2 = √-89-r = --89-⋅--10r. 10 10 10 10

Mamy zatem

√ --√-- √ --- DB --89⋅-10r 7 89 R = ---------= ---1√0----= ------r. 2sin ∡A 4-170- 40

 
Odpowiedź: √ -- 7--89r 40

Wersja PDF