/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu

Zadanie nr 7056995

Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przekątnej długości √ --- 4 1 dm jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i cosinusy jego kątów wewnętrznych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość krótszej podstawy trapezu przez a , długość ramienia przez c , a wysokość przez h .

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 20, to sumy te są równe po 10. W szczególności

c = 5.

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe będą mieć długość 10−a−a- 2 = 5 − a . W takim razie ′ AC = 5 − a + a = 5 . Liczymy teraz wysokość h z trójkąta prostokątnego ′ AC C .

2 2 ′2 h = AC − (AC ) h2 = 41 − 52 = 16 ⇒ h = 4 .

Teraz liczymy pole trapezu.

AB + CD 10 P = ----2-----⋅h = 2--⋅4 = 20 .

Możemy też obliczyć sin ∡A .

h- 4- sin ∡A = c = 5.

Zatem

∘ ------- ∘ -------2---- 1 6 3 co s∡A = 1 − sin ∡A = 1 − --- = -- 2 5 5

oraz

∘ 3- cos∡D = cos(1 80 − ∡A ) = − cos∡A = − 5 .

 
Odpowiedź: Pole: 20 dm 2 , cosinusy: 3 5 i 3 − 5 .

Wersja PDF