/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu

Zadanie nr 8276899

Dany jest trapez równoramienny ABCD o obwodzie l i podstawach AB oraz CD takich, że |AB | > |CD | . Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna AC trapezu ma długość d (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że promień R okręgu opisanego na trapezie ABCD jest równy -√--dl---- 2 16d2−l2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AB = b , CD = a , AD = BC = c . Dorysujmy też wysokości ′ DD i CC ′ trapezu.

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy l , to sumy te są równe połowie obwodu. W szczególności

l- -l 2c = 2 ⇒ c = 4 l a + b = -. 2

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe mają długość AD ′ = BC ′ = b−2a- . W takim razie

AC ′ = AD ′ + C ′D ′ = a−-b+ a = a-+-b-= l. 2 2 4

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AC ′C .

∘ --------------- ∘ -------- √ --------- ′ 2 ′ 2 2 -l2- --16d-2 −-l2 h = CC = AC − (AC ) = d − 1 6 = 4 .

Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC .

AC -----= 2R sin α R = -AC----= -d---= ---√d------= --√---dl-----. 2 sin α 2⋅ h -16d2−l2 2 16d2 − l2 c 2⋅ ---4l---- 4
Wersja PDF