/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu

Zadanie nr 8859518

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy długość ramienia przez x , to krótsza podstawa ma długość 30 − x . Ponieważ będzie nas interesować jakie wartości może przyjmować x (dziedzina szukanej funkcji), zauważmy, że w tym miejscu musimy mieć x < 30 i jednocześnie x może być dowolnie bliskie 30 (skraca się krótsza podstawa).

Wiadomo, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe. W naszym trapezie są one równe 2x (suma długości ramion), więc dłuższa podstawa musi mieć długość:

2x− (30 − x) = 3x − 3 0.

Znamy sumę podstaw trapezu, pozostało nam więc wyliczyć długość jego wysokości. Zrobimy to z trójkąta prostokątnego AED .

Ponieważ EF = CD = 30 − x , odcinki AE = F B muszą mieć długość

AB-−--EF--= 3x-−--30−--30+--x = 2x − 30. 2 2

Zauważmy, że ten wzór daje nam kolejne ograniczenie na x : AB ma być dłuższą podstawą, czyli

0 < AE = 2x − 30 ⇒ 15 < x.

Jednocześnie powinno być jasne, że x może być dowolnie blisko 15 (dla x = 15 dostajemy kwadrat).

Liczymy wysokość

∘ ------------ ∘ ---------------- ∘ ----------------------------- h = AD 2 − AE 2 = x2 − (2x − 3 0)2 = (x − (2x − 30 ))(x+ 2x− 30) = ∘ ------------------ ∘ ------------------ = (30 − x)(3x − 30) = 3 (3 0− x)(x − 10).

Zatem pole jest równe

∘ ------------------ P = AB--+--CD- ⋅h = AD--+-BC--⋅h = x 3(30 − x)(x − 10). 2 2

Jak już ustaliliśmy po drodze, dziedziną tej funkcji jest przedział (15,30) .  
Odpowiedź: ∘ ------------------ P (x) = x 3(30− x)(x − 10) , DP = (1 5,30)

Wersja PDF