Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1502808

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość a , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.


PIC


Druga część zadania jest bardzo łatwa. Szukany odcinek EF jest równoległy do podstaw (tw. Talesa) i składa się z dwóch części: odcinka ES = a oraz SF , który jest równy połowie C′B (np. z podobieństwa trójkątów CSF i  ′ CC B lub z twierdzenia Talesa), czyli też a . Zatem

EF = 2a.

Jeżeli ktoś lubi różne wzorki, to w dowolnym trapezie o podstawach a i b odcinek łączący środki ramion ma długość a+b-- 2 . Oczywiście zgadza się to z naszymi wyliczeniami.

Aby obliczyć pole trapezu, musimy wyznaczyć jego wysokość h . Na mocy twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CC ′B mamy

(CC ′)2 + C′B 2 = CB 2 2 2 2 h + (2a) = CB .

Ponadto, musimy w końcu wykorzystać fakt, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem

AB + CD = AD + BC 3a+ a = h + CB CB = 4a − h.

Podstawiając tę wartość do wcześniej napisanego twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

h2 + 4a 2 = (4a − h)2 2 2 2 2 h + 4a = 16a − 8ah + h 8ah = 12a 2 / : 8a h = 3-a. 2

Możemy więc policzyć pole

PABCD = a-+-3a-⋅ 3-a = 3a2. 2 2

 
Odpowiedź: Pole: 3a2 , odcinek: 2a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!