Zadanie nr 3175114
Trapez prostokątny o podstawach
i
jest opisany na okręgu. Ramię
ma długość 15, a ramię
jest wysokością trapezu. Podstawa
jest 3 razy dłuższa od podstawy
. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Korzystamy z faktu, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem
![h + 15 = 4a ⇒ h = 4a − 15.](https://img.zadania.info/zad/3175114/HzadR1x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![h2 + 4a2 = 152 2 2 2 (4a− 15) + 4a = 15 16a2 − 120a + 22 5+ 4a 2 = 225 / : 20 0 = a2 − 6a = a(a − 6).](https://img.zadania.info/zad/3175114/HzadR3x.gif)
Stąd ,
i pole trapezu jest równe
![a+--3a-⋅h = 12 ⋅9 = 1 08. 2](https://img.zadania.info/zad/3175114/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: 108