/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 3175114

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 15, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 3 razy dłuższa od podstawy CD . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

PIC

Korzystamy z faktu, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem

h + 15 = 4a ⇒ h = 4a − 15.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CEB .

h2 + 4a2 = 152 2 2 2 (4a− 15) + 4a = 15 16a2 − 120a + 22 5+ 4a 2 = 225 / : 20 0 = a2 − 6a = a(a − 6).

Stąd a = 6 , h = 4a − 15 = 9 i pole trapezu jest równe

a+--3a-⋅h = 12 ⋅9 = 1 08. 2

 
Odpowiedź: 108

Wersja PDF