Zadanie nr 3666241
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest , są przystające. Zatem prosta
jest dwusieczną kąta
. Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt
przez
. Podobnie niech
. Z równoległości prostych
i
mamy
![∘ 2α + 2 β = 180 α + β = 90∘.](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR9x.gif)
Oznacza to, że trójkąt jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa
![∘ ------- ∘ ------- -- BC = 4 2 + 82 = 4 1 + 22 = 4√ 5 .](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR11x.gif)
Możemy teraz łatwo wyliczyć promień okręgu wpisanego – jest to wysokość w trójkącie opuszczona na bok
.
![2P = BC ⋅r = 4 ⋅8 SBC BC ⋅r = 4 ⋅8 √ -- 4 5 ⋅r = 4 ⋅√8-- 8 8 5 r = √--- = -----. 5 5](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR14x.gif)
Innym sposobem wyliczenia promienia jest fakt, że .
Mamy zatem wysokość trapezu
![√ -- 16--5- h = 2r = 5 .](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR16x.gif)
Długości podstaw możemy teraz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednich trójkątach. My jednak zrobimy to prościej. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, to
![AB + CD = AD + BC AB + CD = 2r + BC 16√ 5- √ -- 36√ 5- AB + CD = ------+ 4 5 = ------ 5 5](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR17x.gif)
Mamy stąd
![AB + CD 18√ 5- 16√ 5- 288 PABCD = ---------- ⋅h = ------⋅------= ----. 2 5 5 5](https://img.zadania.info/zad/3666241/HzadR18x.gif)
Odpowiedź: