/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 3666241

Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest SB , są przystające. Zatem prosta SB jest dwusieczną kąta ABC . Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt ABC przez α . Podobnie niech ∡SCB = ∡SCD = β . Z równoległości prostych AB i CD mamy

∘ 2α + 2 β = 180 α + β = 90∘.

Oznacza to, że trójkąt SBC jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ------- ∘ ------- -- BC = 4 2 + 82 = 4 1 + 22 = 4√ 5 .

Możemy teraz łatwo wyliczyć promień okręgu wpisanego – jest to wysokość w trójkącie SBC opuszczona na bok BC .

2P = BC ⋅r = 4 ⋅8 SBC BC ⋅r = 4 ⋅8 √ -- 4 5 ⋅r = 4 ⋅√8-- 8 8 5 r = √--- = -----. 5 5

Innym sposobem wyliczenia promienia jest fakt, że r -4- sin α = 8 = BC .

Mamy zatem wysokość trapezu

√ -- 16--5- h = 2r = 5 .

Długości podstaw możemy teraz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednich trójkątach. My jednak zrobimy to prościej. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, to

AB + CD = AD + BC AB + CD = 2r + BC 16√ 5- √ -- 36√ 5- AB + CD = ------+ 4 5 = ------ 5 5

Mamy stąd

AB + CD 18√ 5- 16√ 5- 288 PABCD = ---------- ⋅h = ------⋅------= ----. 2 5 5 5

 
Odpowiedź: 2858

Wersja PDF