/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 5179452

Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 2 cm i 4 cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Po pierwsze zauważmy, że

∡SCB + ∡SBC = 1-(∡B + ∡C ) = 90∘ , 2

co oznacza, że trójkąt BCS jest prostokątny. W dodatku, jego wysokość opuszczona z wierzchołka S jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trapez. Porównując dwa wzory na pole trójkąta BCS mamy

1SB ⋅SC = 1BC ⋅r 2 2 SB ⋅SC 2 ⋅4 8 4 √ 5- r = --------= √---------= --√---= -----. BC 22 + 42 2 5 5

W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, zatem

√ -- √ -- 8--5- √ -- 18--5- AB + CD = AD + BC = 2r + BC = 5 + 2 5 = 5 .

Możemy więc wyliczyć pole.

√ -- √ -- AB-+--CD-- 18--5- 4--5- 72- P = 2 ⋅2r = 5 ⋅ 5 = 5 .

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że ∘ ∡α + ∡ β = 90 . Z trójkątów prostokątnych EBS i FCS mamy

sinα = SE- = r- SB 4 ∘ SF r cos α = cos(90 − β ) = sin β = SC- = 2-.

Podstawiamy te wartości do jedynki trygonometrycznej i mamy

√ -- 2 2 r2 r2 5r2 4 4 5 1 = sin α + co s α = --+ -- = ---- ⇒ r = √---= -----. 16 4 16 5 5

Teraz raz jeszcze patrzymy na trójkąty prostokątne EBS i FCS .

∘ ----------- ∘ -------- ∘ ------ √ -- EB = SB 2 − SE 2 = 16− 16-= 4 1 − 1-= √8--= 8--5- 5 5 5 5 ∘ ----------- ∘ ------- ∘ ------ √ -- F C = SC 2 − SF2 = 4− 16-= 2 1 − 4-= √2--= 2--5. 5 5 5 5

Pole trapezu jest więc równe

AB + DC r+ EB + r+ F C P = -----2---- ⋅AD = --------2--------⋅2r = √ -- ( √ -- ) √ -- √ -- √ -- 2r-+-2--5- 4--5- √ -- 8--5- 9--5- 8---5 72- = 2 ⋅2r = 5 + 5 ⋅ 5 = 5 ⋅ 5 = 5 .

 
Odpowiedź: 72 cm 2 5

Wersja PDF