Zadanie nr 5179452
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 2 cm i 4 cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.
Rozwiązanie
Naszkicujmy sobie opisaną sytuację.
Sposób I
Po pierwsze zauważmy, że
![∡SCB + ∡SBC = 1-(∡B + ∡C ) = 90∘ , 2](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR1x.gif)
co oznacza, że trójkąt jest prostokątny. W dodatku, jego wysokość opuszczona z wierzchołka
jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trapez. Porównując dwa wzory na pole trójkąta
mamy
![1SB ⋅SC = 1BC ⋅r 2 2 SB ⋅SC 2 ⋅4 8 4 √ 5- r = --------= √---------= --√---= -----. BC 22 + 42 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR5x.gif)
W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, zatem
![√ -- √ -- 8--5- √ -- 18--5- AB + CD = AD + BC = 2r + BC = 5 + 2 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR6x.gif)
Możemy więc wyliczyć pole.
![√ -- √ -- AB-+--CD-- 18--5- 4--5- 72- P = 2 ⋅2r = 5 ⋅ 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR7x.gif)
Sposób II
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że . Z trójkątów prostokątnych
i
mamy
![sinα = SE- = r- SB 4 ∘ SF r cos α = cos(90 − β ) = sin β = SC- = 2-.](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR11x.gif)
Podstawiamy te wartości do jedynki trygonometrycznej i mamy
![√ -- 2 2 r2 r2 5r2 4 4 5 1 = sin α + co s α = --+ -- = ---- ⇒ r = √---= -----. 16 4 16 5 5](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR12x.gif)
Teraz raz jeszcze patrzymy na trójkąty prostokątne i
.
![∘ ----------- ∘ -------- ∘ ------ √ -- EB = SB 2 − SE 2 = 16− 16-= 4 1 − 1-= √8--= 8--5- 5 5 5 5 ∘ ----------- ∘ ------- ∘ ------ √ -- F C = SC 2 − SF2 = 4− 16-= 2 1 − 4-= √2--= 2--5. 5 5 5 5](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR15x.gif)
Pole trapezu jest więc równe
![AB + DC r+ EB + r+ F C P = -----2---- ⋅AD = --------2--------⋅2r = √ -- ( √ -- ) √ -- √ -- √ -- 2r-+-2--5- 4--5- √ -- 8--5- 9--5- 8---5 72- = 2 ⋅2r = 5 + 5 ⋅ 5 = 5 ⋅ 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/5179452/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: