/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 6188413

Pole trapezu prostokątnego opisanego na okręgu jest równe 5, a obwód trapezu wynosi 10. Oblicz długość promienia okręgu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Sposób I

Jeżeli czworokąt jest opisany na okręgu to sumy przeciwległych boków są równe (odwrotna implikacja też jest prawdziwa). Ponieważ mamy dany obwód, to z powyższej własności wiemy, że

1-0 a + b = 2 = 5,

gdzie a i b podstawy trapezu. Korzystając teraz z podanego pola, mamy

a-+-b- 5 = 2 ⋅h ⇒ h = 2.

Ponieważ wysokość h to dokładnie średnica okręgu wpisanego, to r = 1 .

Sposób II

Pole dowolnego wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r wyraża się wzorem P = pr , gdzie p jest połową obwodu. Mamy więc równość.

5 = 5r ⇒ r = 1 .

 
Odpowiedź: 1

Wersja PDF