Zadanie nr 6188413
Pole trapezu prostokątnego opisanego na okręgu jest równe 5, a obwód trapezu wynosi 10. Oblicz długość promienia okręgu.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Jeżeli czworokąt jest opisany na okręgu to sumy przeciwległych boków są równe (odwrotna implikacja też jest prawdziwa). Ponieważ mamy dany obwód, to z powyższej własności wiemy, że
![1-0 a + b = 2 = 5,](https://img.zadania.info/zad/6188413/HzadR1x.gif)
gdzie i
podstawy trapezu. Korzystając teraz z podanego pola, mamy
![a-+-b- 5 = 2 ⋅h ⇒ h = 2.](https://img.zadania.info/zad/6188413/HzadR4x.gif)
Ponieważ wysokość to dokładnie średnica okręgu wpisanego, to
.
Sposób II
Pole dowolnego wielokąta opisanego na okręgu o promieniu wyraża się wzorem
, gdzie
jest połową obwodu. Mamy więc równość.
![5 = 5r ⇒ r = 1 .](https://img.zadania.info/zad/6188413/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: 1