Zadanie nr 6646131
Trapez prostokątny o podstawach i
jest opisany na okręgu. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Aby obliczyć pole trapezu, musimy wyznaczyć jego wysokość . Na mocy twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta
mamy
![(CC ′)2 + C′B 2 = CB 2 2 2 2 h + (b − a) = CB .](https://img.zadania.info/zad/6646131/HzadR3x.gif)
Ponadto, musimy w końcu wykorzystać fakt, że trapez jest opisany na okręgu. Oznacza to, że sumy przeciwległych boków są równe (ta własność w pełni charakteryzuje czworokąty opisane na okręgu, co warto zapamiętać). Zatem
![AB + CD = AD + BC b+ a = h + BC BC = b + a− h.](https://img.zadania.info/zad/6646131/HzadR4x.gif)
Podstawiamy tę wartość do wcześniej napisanego twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy
![h2 + (b − a)2 = (b + a − h)2 h2 + b2 − 2ab + a2 = b2 + a2 + h2 + 2ab − 2bh − 2ah 2ab 2ah + 2bh = 4ab ⇒ h = -----. a + b](https://img.zadania.info/zad/6646131/HzadR5x.gif)
Możemy więc obliczyć pole
![PABCD = a+--b⋅ -2ab--= ab. 2 a+ b](https://img.zadania.info/zad/6646131/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: