/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 6867993

Na okręgu o średnicy 8 opisano trapez prostokątny, w którym jedna z podstaw ma długość 15. Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

ZINFO-FIGURE

Aby obliczyć pole trapezu, musimy wyznaczyć długość a jego krótszej podstawy. Jak wiadomo w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, więc

AB + CD = AD + BC 1 5+ a = 8+ BC ⇒ BC = 7 + a.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BCE .

(15 − a)2 + 82 = (7 + a)2 2 2 225 − 30a + a + 64 = 49+ 14a + a 240- 60- 240 = 44a ⇒ a = 44 = 11.

Pole trapezu jest więc równe

60 AB--+-CD-- 1-5+--11 225- 900- PABCD = 2 ⋅AD = 2 ⋅8 = 22 ⋅8 = 1 1 .

 
Odpowiedź: 900 11

Wersja PDF