Zadanie nr 8088802
W trapez prostokątny wpisano okrąg, przy czym punkt
jest środkiem tego okręgu, a punkt
jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem
. Oblicz pole tego trapezu, jeśli
i
.
Rozwiązanie
Dorysujmy odcinki łączące punkt z punktami styczności z podstawami trapezu, oraz odcinek
.
Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest , są przystające. Zatem prosta
jest dwusieczną kąta
. Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt
przez
. Podobnie niech
. Z równoległości prostych
i
mamy
![∘ 2α + 2 β = 180 α + β = 90∘.](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR11x.gif)
Oznacza to, że trójkąt jest prostokątny. Prostokątny jest też trójkąt
i jest on podobny do trójkąta
. Jeżeli oznaczymy
to z tego podobieństwa mamy
![CT SC ----= ---- SC BC -x-= ---10√--- 10 x + 8 5 2 √ -- x + 8√ 5x = 100 x2 + 8 5x − 100 = 0 √ -- Δ = 320+ 400 = 7 20 = (12 5)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- x = −-8---5−--12--5 < 0 ∨ x = −-8--5-+-12---5 = 2 5 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR16x.gif)
Zatem i na mocy twierdzenia Pitagorasa
![∘ ----------- √ --------- √ --- √ -- r = ST = SC 2 − TC 2 = 100 − 2 0 = 80 = 4 5.](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR18x.gif)
To oznacza, że wiemy jaka jest długość wysokości trapezu
![√ -- h = AD = 2r = 8 5.](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR19x.gif)
Teraz korzystamy z tego, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe. Zatem
![√ -- √ -- √ -- AB + CD = AD + BC = 8 5 + 10 5 = 18 5.](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR20x.gif)
Zatem pole jest równe
![AB + CD √ -- √ -- P = ----------⋅h = 9 5⋅ 8 5 = 360. 2](https://img.zadania.info/zad/8088802/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: 360