Zadanie nr 8088802

Dorysujmy odcinki łączące punkt z punktami styczności z podstawami trapezu, oraz odcinek .

Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest , są przystające. Zatem prosta jest dwusieczną kąta . Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt przez . Podobnie niech . Z równoległości prostych i mamy

Oznacza to, że trójkąt jest prostokątny. Prostokątny jest też trójkąt i jest on podobny do trójkąta . Jeżeli oznaczymy to z tego podobieństwa mamy

Zatem i na mocy twierdzenia Pitagorasa

To oznacza, że wiemy jaka jest długość wysokości trapezu

Teraz korzystamy z tego, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe. Zatem

Zatem pole jest równe

 
Odpowiedź: 360