/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Kąty, funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 1028443

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 12 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny

PIC

Możemy tak oznaczyć boki trójkąta aby podany warunek zapisać w postaci

b-−-a-= 1- c 2 2b − 2a = c.

Sposób I

Podnosząc równośc 2b = 2a + c do kwadratu i stosując twierdzenie Pitagorasa mamy

4b 2 = 4a2 + c2 + 4ac 2 2 2 2 4c − 4a = 4a + c + 4ac 2 2 2 0 = 8a( +) 4ac− (3c) / : c a- 2 a- 0 = 8 c + 4 c − 3.

Podstawiając t = ac ∈ (0,1) mamy równanie

2 8t + 4t − 3 = 0 √ -- Δ = 1 6+ 9 6 = 112 = (4 7)2 √ -- √ -- √ -- −-4−--4--7- −-4+--4--7- −-1-+---7- t = 16 < 0 lub t = 16 = 4 .

To oznacza, że

√ -- a- −-1-+---7- cos β = c = t = 4 c √ -- √ -- co sα = b-= -2 +-a-= 1-+ co sβ = 1-+ −-1-+---7-= 1+----7. c c 2 2 4 4

Sposób II

Tym razem od razu zapiszemy dane równanie z użyciem trygonometrii.

1-= b−--a-= b-− a-= cos α − sin α 2 c c c 1- 2 2 + sin α = co sα /() 1 --+ sin α + sin2α = cos2α = 1− sin 2α 4 2 sin 2α + sinα − 3-= 0. 4

Rozwiązujemy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe

Δ = 1+ 6 = 7 √ -- √ -- sin α = −-1-−---7-< 0 lub sin α = −-1-+---7. 4 4

Stąd − 1+√ 7 co sβ = sin α = ---4--- i

√ -- √ -- cos α = 1+ sin α = 1-+ −-1-+---7-= 1+----7. 2 2 4 4

 
Odpowiedź: √ - −-1+--7 4 i √ - 1+--7 4

Wersja PDF