Zadanie nr 1028443
W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny
Możemy tak oznaczyć boki trójkąta aby podany warunek zapisać w postaci
![b-−-a-= 1- c 2 2b − 2a = c.](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR1x.gif)
Sposób I
Podnosząc równośc do kwadratu i stosując twierdzenie Pitagorasa mamy
![4b 2 = 4a2 + c2 + 4ac 2 2 2 2 4c − 4a = 4a + c + 4ac 2 2 2 0 = 8a( +) 4ac− (3c) / : c a- 2 a- 0 = 8 c + 4 c − 3.](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR3x.gif)
Podstawiając mamy równanie
![2 8t + 4t − 3 = 0 √ -- Δ = 1 6+ 9 6 = 112 = (4 7)2 √ -- √ -- √ -- −-4−--4--7- −-4+--4--7- −-1-+---7- t = 16 < 0 lub t = 16 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR5x.gif)
To oznacza, że
![√ -- a- −-1-+---7- cos β = c = t = 4 c √ -- √ -- co sα = b-= -2 +-a-= 1-+ co sβ = 1-+ −-1-+---7-= 1+----7. c c 2 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR6x.gif)
Sposób II
Tym razem od razu zapiszemy dane równanie z użyciem trygonometrii.
![1-= b−--a-= b-− a-= cos α − sin α 2 c c c 1- 2 2 + sin α = co sα /() 1 --+ sin α + sin2α = cos2α = 1− sin 2α 4 2 sin 2α + sinα − 3-= 0. 4](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR7x.gif)
Rozwiązujemy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe
![Δ = 1+ 6 = 7 √ -- √ -- sin α = −-1-−---7-< 0 lub sin α = −-1-+---7. 4 4](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR8x.gif)
Stąd i
![√ -- √ -- cos α = 1+ sin α = 1-+ −-1-+---7-= 1+----7. 2 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/1028443/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: i