Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kąty, funkcje trygonometryczne, 3347166

Forum

Prostokątny

Zadanie nr 3347166

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa $α$ .

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie taki trójkąt

Sposób I

Przy oznaczeniach z obrazka, mamy
$a a ab− ac a(b − c) sinα − tg α = --− --= --------= -------- . c b bc bc$
Ponieważ przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej z przyprostokątnych mamy $b < c$ , co dowodzi żądanej nierówności.

Sposób II

Tym razem rozpiszmy tangens na sinus i cosinus.
$sinα sin αco sα − sin α sin α(cos α− 1) sinα − tg α = sin α− ----- = ------------------ = ---------------- cos α cosα cosα$
Teraz widać, że licznik jest ujemny, bo $cos α < 1$ .
Zauważmy, że $cos3α + co sα ⋅sin2α = cosα (cos2α + sin2α ) = cosα .$
Wystarczy zatem obliczyć $cosα$ . Liczymy (z jedynki trygonometrycznej, $α$ jest katem ostrym!).
$∘ ------ ∘ -------2-- 8- 1- co sα = 1− sin α = 1− 9 = 3.$

Odpowiedź: $13$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!