Zadanie nr 4039750
W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa . Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.
Rozwiązanie
Naszkicujmy trójkąt prostokątny.
Sposób I
Z obrazka widzimy, że
![b- cos α = c a cos β = --. c](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR1x.gif)
Zatem wiemy, że
![√ -- 2 3 b a a+ b -----= co sα + cos β = -+ --= -----. 3 c c c](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR2x.gif)
Podnosimy teraz tę równość stronami do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
![4⋅ 3 a2 + 2ab + b2 c2 + 2ab ---- = --------------= --------- 9 c2 c2 4- 2ab- 3 = 1 + c2 1 2ab --= -2-- 3 c 1-= a⋅ b. 6 c c](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR3x.gif)
Teraz pozostało zauważyć, że z prawej strony otrzymaliśmy dokładnie iloczyn sinusów:
![sinα ⋅sinβ = a-⋅ b-= 1. c c 6](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR4x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystajmy z równości . Mamy więc
![√ -- 2 3 -----= cos α+ cosβ = cosα + co s(90∘ − α) = cos α+ sin α. 3](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR6x.gif)
Podnosimy tę równość stronami do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.
![4- 2 2 3 = cos α + 2sinα cos α+ sin α = 1 + 2 sinα cos α 1 --= 2sin αco s(90∘ − β) = 2 sin α sin β 3 1-= sinα sinβ . 6](https://img.zadania.info/zad/4039750/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: