Zadanie nr 4684801
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny . Punkty
i
dzielą przeciwprostokątną
na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta
.
Rozwiązanie
Oznaczmy .
Wtedy oczywiście .
Sposób I
Żądany możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie równoramiennym
, ale najpierw musimy obliczyć długości jego ramion
. Rozpoczynamy więc od twierdzenia cosinusów w trójkącie
.
![EC 2 = BE 2 + BC 2 − 2BE ⋅ BC cos 45∘ √ -- √ -- x2 = 2a2 + a2 − 2⋅ a--2-⋅a⋅ --2- 9 3 2 2 11-2 2- 2 11-−-6- 2 5-2 x = 9 a − 3a = 9 a = 9a .](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR7x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![DE 2 = x 2 + x 2 − 2x 2cos α 2 -a 2 = 2x2(1 − cos α) 9 29a2 1 1− cosα = 10-2-= -- 9 a 5 4- co sα = 5.](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR9x.gif)
Sposób II
Niech będzie środkiem przeciwprostokątnej
. Ponieważ trójkąt
jest połówką kwadratu, mamy
![√ -- 1- a--2- CF = 2AB = 2 .](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR13x.gif)
Odcinek zawiera się w dwusiecznej kąta
, więc korzystając z trójkąta prostokątnego
możemy bardzo łatwo obliczyć tangens kąta
.
![a√-2- tg α-= EF--= -√6- = 1. 2 FC a-2- 3 2](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR18x.gif)
Znając tangens, łatwo obliczyć cosinus.
![sin α 1 ----2α-= -- / ()2 cos 2 3 sin2 α 1 ---2-2α = -- co(s 2 9 ) 2 α- 2 α- 9 1− cos 2 = cos 2 α 9 co s2--= ---. 2 10](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR19x.gif)
Teraz pozostało skorzystać ze wzoru . Mamy zatem
![2 α 9 4 cos α = 2 cos -2 − 1 = 2 ⋅10-− 1 = 5.](https://img.zadania.info/zad/4684801/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: