Zadanie nr 4684801
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny . Punkty
i
dzielą przeciwprostokątną
na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta
.
Rozwiązanie
Oznaczmy .
Wtedy oczywiście .
Sposób I
Żądany możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie równoramiennym
, ale najpierw musimy obliczyć długości jego ramion
. Rozpoczynamy więc od twierdzenia cosinusów w trójkącie
.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .

Sposób II
Niech będzie środkiem przeciwprostokątnej
. Ponieważ trójkąt
jest połówką kwadratu, mamy

Odcinek zawiera się w dwusiecznej kąta
, więc korzystając z trójkąta prostokątnego
możemy bardzo łatwo obliczyć tangens kąta
.

Znając tangens, łatwo obliczyć cosinus.

Teraz pozostało skorzystać ze wzoru . Mamy zatem

Odpowiedź: