Zadanie nr 6568123
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
. Na boku
wybrano punkt
tak, że
. Oblicz sinus kąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Obliczmy długość przeciwprostokątnej
![∘ ------------ √ -------- √ --- AB = BC 2 + CA 2 = 64+ 17 = 81 = 9.](https://img.zadania.info/zad/6568123/HzadR1x.gif)
Zatem .
Sposób I
Stosując twierdzenie sinusów w trójkątach i
mamy
![√ --- AD---= -AC-- ⇒ -2---= --17- sin β sin γ sin β sinγ BD BC 7 8 ------∘------= -------∘------ ⇒ ----- = -----. sin (90 − β) sin(180 − γ ) cos β sin γ](https://img.zadania.info/zad/6568123/HzadR5x.gif)
Teraz z obu równości wyliczamy i porównujemy otrzymane wartości.
![√ --- --17-sinβ = 8-cosβ / ()2 2 7 17- 2 64- 2 4 sin β = 49 cos β 17 64 ---sin2β = ---(1 − sin2 β) (4 ) 49 17- 64- 2 6-4 4 + 49 sin β = 4 9 833 + 25 6 6 4 ----------sin2 β = --- 4 ⋅49 4 9 2 64- 4⋅49-- 64-⋅4- sin β = 49 ⋅ 1089 = 332 .](https://img.zadania.info/zad/6568123/HzadR7x.gif)
Zatem .
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Korzystając z tego twierdzenia obliczamy długość odcinka .
![2 2 2 DC = AD + AC − 2AD ⋅AC cos α = √ --- √ --- = 4 + 17 − 2 ⋅2⋅ 17⋅ --17-= 21− 68-= 121- 9 9 9 11- DC = 3 .](https://img.zadania.info/zad/6568123/HzadR10x.gif)
Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie .
![AD DC -----= ----- sin β sin α 2 11 33 -----= 38--= --- sin β 9 8 2 16 sin β = 33-= 33. 8](https://img.zadania.info/zad/6568123/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: