Zadanie nr 6968535
W trójkącie kąt przy wierzchołku
jest prosty. Trójkąt
jest równoboczny. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta
, jeśli pole trójkąta
jest dwa razy większe od pola trójkąta
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Sposób I
Przyjmując oznaczenia długości boków z rysunku, mamy
![2√ -- c---3-= 2⋅ ab- / : c2 4 2 √ 3- a b ----= --⋅-- √4-- c c --3- 4 = sin α cosα √ -- --3-= 2sin αco sα √2-- 3 ----= sin 2α 2 ∘ ∘ 2α = 60 ∨ 2α = 120 α = 3 0∘ ∨ α = 60 ∘.](https://img.zadania.info/zad/6968535/HzadR1x.gif)
Sposób II
Tym razem postąpimy bardziej geometrycznie. Spróbujmy narysować oba trójkąty po tej samej stronie prostej . Jeżeli przez
i
oznaczymy środki boków
i
trójkąta
, to wierzchołek
musi leżeć na prostej
(bo pole
ma być dwa razy mniejsze niż pole
). Ponadto kąt
ma być prosty. Na prostej
są dokładnie dwa punkty o tej własności, bo są to punkty wspólne tej prostej i okręgu o średnicy
. Z drugiej strony tę własność mają punkty
i
, zatem punkt
musi być jednym z tych punktów. Zatem kąty ostre trójkąta
to
i
.
Odpowiedź: i