Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6968535

W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty. Trójkąt AMB jest równoboczny. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta ABC , jeśli pole trójkąta AMB jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Przyjmując oznaczenia długości boków z rysunku, mamy

 2√ -- c---3-= 2⋅ ab- / : c2 4 2 √ 3- a b ----= --⋅-- √4-- c c --3- 4 = sin α cosα √ -- --3-= 2sin αco sα √2-- 3 ----= sin 2α 2 ∘ ∘ 2α = 60 ∨ 2α = 120 α = 3 0∘ ∨ α = 60 ∘.

Sposób II

Tym razem postąpimy bardziej geometrycznie. Spróbujmy narysować oba trójkąty po tej samej stronie prostej AB . Jeżeli przez D i E oznaczymy środki boków BM i AM trójkąta AMB , to wierzchołek C musi leżeć na prostej DE (bo pole ABC ma być dwa razy mniejsze niż pole AMB ). Ponadto kąt ACB ma być prosty. Na prostej DE są dokładnie dwa punkty o tej własności, bo są to punkty wspólne tej prostej i okręgu o średnicy AB . Z drugiej strony tę własność mają punkty D i E , zatem punkt C musi być jednym z tych punktów. Zatem kąty ostre trójkąta ABC to 3 0∘ i 60∘ .  
Odpowiedź: 30∘ i 6 0∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!