Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7084684

Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez proste zawierające środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone na przyprostokątne.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Załóżmy, że przyprostokątne mają długość 2a .


PIC


Sposób I

Plan jest następujący. Cosinus szukanego kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASE . Do tego będziemy potrzebować długości odcinków AS i SE . Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne ABS i ESD – pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).

Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ADC i mamy

 ∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = AC 2 + CD 2 = 4a2 + a2 = a 5 .

Stąd

 √ -- 2- 2a--5- AS = 3 AD = 3 √ -- SE = 1-AD = a--5. 3 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta ASE .

 2 2 2 AE = AS + SE − 2AS ⋅SE cosα 2 20- 2 5-2 20- 2 a = 9 a + 9a − 9 a co sα 1 6 4 9 = 25 − 20 cosα ⇒ cos α = --- = --. 2 0 5

Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

 ------- ∘ ---------- ∘ 16 3 sin α = 1 − co s2α = 1− ---= -. 25 5

Mamy zatem

 sin α 3 tg α = ----- = -. co sα 4

Sposób II

Z trójkąta prostokątnego EBC mamy

 CB-- tg∡CEB = CE = 2 .

Z drugiej strony mamy

 ∘ α = 180 − ∡ESD = = 180∘ − (360 ∘ − ∡CES − ∡ECD − ∡CDS ) = − 9 0∘ + 2∡CEB .

Zatem

ctg α = − ctg(90∘ − 2∡CEB ) = − tg2∡CEB .

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru

tg 2x = --2-tg-x--. 1 − tg2 x

Mamy więc

 -2-tg∡CEB----- --4--- 4- ctg α = − tg 2∡CEB = − 1− tg 2∡CEB = − 1− 4 = 3.

Zatem tg α = 3 4 .  
Odpowiedź: 3 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!