Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7084684

Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez proste zawierające środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone na przyprostokątne.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Załóżmy, że przyprostokątne mają długość 2a (tak naprawdę możemy wziąć a = 1 ).


PIC


Sposób I

Plan jest następujący. Cosinus szukanego kąta wyliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASE . Do tego będziemy potrzebować długości odcinków AS i SE . Te łatwo jednak wyliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1.

Liczymy. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta ADC mamy

 ∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = AC 2 + CD 2 = 4a2 + a2 = a 5 .

Stąd

 √ -- AS = 2-AD = 2a--5- 3 √3-- 1 a 5 SE = --AD = ----. 3 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta ASE .

 2 2 2 AE = AS + SE − 2AS ⋅SE cosα 2 20- 2 5-2 20- 2 a = 9 a + 9a − 9 a cos α 9 = 25 − 20 cosα 1-6 4- cos α = 2 0 = 5 .

Sinus możemy policzyć z jedynki trygonometrycznej.

 ∘ ------- ∘ --------2- 16- 3- sin α = 1 − co s α = 1− 25 = 5.

Mamy zatem

 sin-α 3- tg α = co sα = 4.

Sposób II

Z trójkąta prostokątnego EBC mamy

 CB tg∡CEB = ----= 2 . CE

Z drugiej strony mamy

α = 18 0∘− ∡ESD = 180∘ − (360∘ − ∡CES − ∡ECD − ∡CDS ) = −9 0∘+ 2∡CEB

Zatem

ctg α = − ctg(90∘ − 2∡CEB ) = − tg2∡CEB .

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru

tg 2x = --2-tg-x--. 1 − tg2 x

Mamy więc

ctg α = − tg 2∡CEB = − -2-tg∡CEB-----= − --4---= 4. 1− tg 2∡CEB 1− 4 3

Zatem tg α = 3 4 .  
Odpowiedź: 3 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!