Zadanie nr 7084684
Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez proste zawierające środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone na przyprostokątne.
Rozwiązanie
Załóżmy, że przyprostokątne mają długość .
Sposób I
Plan jest następujący. Cosinus szukanego kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie . Do tego będziemy potrzebować długości odcinków
i
. Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne
i
– pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).
Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie i mamy
![∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = AC 2 + CD 2 = 4a2 + a2 = a 5 .](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR8x.gif)
Stąd
![√ -- 2- 2a--5- AS = 3 AD = 3 √ -- SE = 1-AD = a--5. 3 3](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR9x.gif)
Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta .
![2 2 2 AE = AS + SE − 2AS ⋅SE cosα 2 20- 2 5-2 20- 2 a = 9 a + 9a − 9 a co sα 1 6 4 9 = 25 − 20 cosα ⇒ cos α = --- = --. 2 0 5](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR11x.gif)
Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.
![------- ∘ ---------- ∘ 16 3 sin α = 1 − co s2α = 1− ---= -. 25 5](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR12x.gif)
Mamy zatem
![sin α 3 tg α = ----- = -. co sα 4](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR13x.gif)
Sposób II
Z trójkąta prostokątnego mamy
![CB-- tg∡CEB = CE = 2 .](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR15x.gif)
Z drugiej strony mamy
![∘ α = 180 − ∡ESD = = 180∘ − (360 ∘ − ∡CES − ∡ECD − ∡CDS ) = − 9 0∘ + 2∡CEB .](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR16x.gif)
Zatem
![ctg α = − ctg(90∘ − 2∡CEB ) = − tg2∡CEB .](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR17x.gif)
Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru
![tg 2x = --2-tg-x--. 1 − tg2 x](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR18x.gif)
Mamy więc
![-2-tg∡CEB----- --4--- 4- ctg α = − tg 2∡CEB = − 1− tg 2∡CEB = − 1− 4 = 3.](https://img.zadania.info/zad/7084684/HzadR19x.gif)
Zatem .
Odpowiedź: