Zadanie nr 7084684
Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez proste zawierające środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone na przyprostokątne.
Rozwiązanie
Załóżmy, że przyprostokątne mają długość .
Sposób I
Plan jest następujący. Cosinus szukanego kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie . Do tego będziemy potrzebować długości odcinków
i
. Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne
i
– pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).
Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie i mamy

Stąd

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta .

Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

Mamy zatem

Sposób II
Z trójkąta prostokątnego mamy

Z drugiej strony mamy

Zatem

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru

Mamy więc

Zatem .
Odpowiedź: