Zadanie nr 8874003
W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego przecina przeciwprostokątną
w punkcie
. Środek okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli odcinek
w stosunku
, licząc od punktu
. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Wiemy, że ,
dla pewnego
. W trójkącie
mamy
![OK--= sin π- AO 4 r √ 2- r √ 6- √----= ---- ⇒ --= ----. 3x 2 x 2](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR5x.gif)
Podobną równość możemy otrzymać w trójkącie , ale najpierw zauważmy, że
![∡BDA = 180∘ − ∡ABD − ∡BAD = π − α − π- = 3π − α. 4 4](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR7x.gif)
Mamy zatem (patrzymy na trójkąt )
![( ) OL-- 3- OD = sin∡LDO = sin 4π − α ( ) ( ) √-r--= sin 3-π − α ⇒ r-= √ 2sin 3-π − α . 2x 4 x 4](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR9x.gif)
Porównując teraz z dwóch otrzymanych równości, mamy
![√ -- √ -- ( ) --6-= 2sin 3-π − α 2 4 √ 3- ( 3 ) ----= sin -π − α 2 4( ) π 3 sin --= sin -π − α . 3 4](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR11x.gif)
Ponieważ po obu stronach mamy kąty ostre (kąt jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym), więc
![π 3 3π π 9π − 4π 5π --= --π − α ⇒ α = --- − -- = ---------= ---. 3 4 4 3 12 12](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR13x.gif)
Drugi kąt ostry trójkąta jest więc równy
![π 5π 6π − 5π π --− ---= ---------= ---. 2 12 12 12](https://img.zadania.info/zad/8874003/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: i