Zadanie nr 9091055

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Przeciwprostokątna tego trójkąta jest 6,5 razy dłuższa niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC , który ma mniejszą miarę.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.

1ab = P = pr = a+--b+--c⋅r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.

Mamy zatem

1 r a+abb+c- ab ----= - = ------= -----------2. 6 ,5 c c ac + bc + c

Podzielimy teraz licznik i mianownik przez 2 c , tak aby móc skorzystać z równości sin α = ac i cos α = bc .

a b 2--= ---c ⋅c---= ---sin-α-cosα----- 13 ac + bc + 1 sin α + cos α+ 1 13 ---sin α cosα − 1 = sin α + cos α / ()2 2 169- 2 2 2 2 4 sin α cos α − 1 3sinα cos α+ 1 = sin α + co s α + 2 sin α cosα 169 4 ----sin 2α cos2α = 15sin αco sα /⋅ ---------- 4 sin α cosα 169sin αco sα = 6 0 /()2 2 2 2 169 sin αcos α = 36 00 1692sin2 α(1− sin 2α) = 3 600.

Podstawiamy teraz 2 sin α = t i mamy

2 2 2 169 t − 169 t+ 3600 = 0 .

Liczymy

4 2 2 Δ = 169 − 4 ⋅169 ⋅3600 = 169 (2856 1− 14400) = = 1692 ⋅1416 1 = (169 ⋅119)2 = 2 01112.

Stąd

1692 − 169 ⋅119 16 9− 1 19 25 t = ----------2-----= ---------- = ---- 2 ⋅169 2 ⋅169 169

lub

1692 + 169 ⋅119 169 + 119 14 4 t = ----------2-----= ----------= ----, 2 ⋅169 2⋅1 69 16 9

czyli 5- sin α = 13 lub 12 sin α = 13 . Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc 5 sin α = 13 .

Sposób II

Wiemy, że

r = -1-- = -2- ⇒ c = 13-r. c 6 ,5 13 2

Stąd

13r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 17r − a. 2 2

Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

c2 = a2 + b2 ( ) 1-69 2 2 17- 2 2 28-9 2 2 4 r = a + 2 r − a = a + 4 r − 17ar+ a 0 = 2a 2 − 1 7ar+ 30r2.

Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 289r2 − 240r2 = 49r2 17r − 7r 5 17r+ 7r a = ---------= -r lub a = ---------= 6r. 4 2 4

Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe

a 5r 5 a 6r 12 sin α = --= -2--= --- lub sin α = --= ----= ---. c 132 r 13 c 123r 13

Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc sin α = 513 .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

{ 13 c = 2 r a+ b = 172 r.

Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 289 2 a + b + 2ab = ----r 4 c2 + 2ab = 289-r2 4 169-2 289-2 2 4 r + 2ab = 4 r ⇒ ab = 15r .

Mamy zatem układ równań

{ a + b = 17r 22 ab = 1 5r

Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby a c i b c . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość 13 c = 2 r , a drugie przez 2 169 2 c = 4 r i mamy układ

{ a b 17 c + c = 13 ac ⋅ bc = 61069.

Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 1-7x + -60- = 0 1 3 169 289 240 4 9 Δ = 169-− 169-= 169- 17 7- 17 -7 x = 13 −-13-= 5-- ∨ x = 13-+-13-= 12. 2 13 2 13

Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc sin α = 513 .

Sposób IV

Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .

Wiemy, że c = 132-r , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości

r+ -c+ x = 17-r+ x 2 4 -c 17- r+ 2 − x = 4 r− x.

Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.

( ) 2 ( ) 2 17r + x + 17r − x = c2 = 169r2 4 4 4 289 17 289 17 169 ---r2 + ---rx + x2 + ----r2 − --rx + x2 = ---r2 16 2 16 2 4 2x2 = 33-8−--289r = 49r2 8 8 7- x = 4 r.

Zatem sinus mniejszego z kątów trójkąta jest równy

147r− x 140r 5 --------= 13--= ---. c 2 r 13

Sposób V

Tym razem skorzystamy ze wzoru

a+ b− c r = --------- 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc

a+b−c- ( ) -1-- = -2-= r = --2---= a-+-b-−-c = 1- a-+ b-− 1 . 6 ,5 13 c c 2c 2 c c

Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .

2--= 1(sin α+ cosα − 1 ) / ⋅2 13 2 4-- 1-7 sinα + co sα = 1 + 13 = 1 3.

Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

17- 2 cosα = 13 − sin α / () 289 34 cos2α = ----− --sin α+ sin 2α 169 13 1 − sin2α = 289-− 34-sin α + sin2α 169 13 120 3 4 2 0 = ----− ---sin α+ 2sin α / : 2 169 1 3 0 = 6-0-− 1-7sin α+ sin 2α. 169 1 3

Podstawiamy teraz t = sinα i mamy równanie

1 7 60 t2 − ---t+ ----= 0 1 3 169 Δ = 289-− 24-0 = -49- 169 16 9 1 69 17− 7- 5 17+ 7- 12 t = 13---13-= --- ∨ t = -13---13= ---. 2 13 2 13

Zatem -5 sin α = 13 lub 12 sin α = 13 . Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc sinα = 513 .

Sposób VI

Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości 60 sinα cos α = 169 . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na sin2 α i cos 2α .

2sin αco sα = 120- ⇒ sin2α = 120- 169 ∘ -----169--- ------- ∘ ---------- 14400 ∘ 1 4161 119 co s2α = ± 1− sin 2α = ± 1− ------= ± -----2 = ± ---. 28561 169 169

Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że cos 2α > 0 . Mając obliczony cos2α , możemy obliczyć sin α ze wzoru