Zadanie nr 9091055
Dany jest trójkąt prostokątny . Przeciwprostokątna tego trójkąta jest 6,5 razy dłuższa niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta
, który ma mniejszą miarę.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.
![1ab = P = pr = a+--b+--c⋅r 2 2 ---ab---- r = a+ b+ c.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR1x.gif)
Mamy zatem
![1 r a+abb+c- ab ----= - = ------= -----------2. 6 ,5 c c ac + bc + c](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR2x.gif)
Podzielimy teraz licznik i mianownik przez , tak aby móc skorzystać z równości
i
.
![a b 2--= ---c ⋅c---= ---sin-α-cosα----- 13 ac + bc + 1 sin α + cos α+ 1 13 ---sin α cosα − 1 = sin α + cos α / ()2 2 169- 2 2 2 2 4 sin α cos α − 1 3sinα cos α+ 1 = sin α + co s α + 2 sin α cosα 169 4 ----sin 2α cos2α = 15sin αco sα /⋅ ---------- 4 sin α cosα 169sin αco sα = 6 0 /()2 2 2 2 169 sin αcos α = 36 00 1692sin2 α(1− sin 2α) = 3 600.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR6x.gif)
Podstawiamy teraz i mamy
![2 2 2 169 t − 169 t+ 3600 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR8x.gif)
Liczymy
![4 2 2 Δ = 169 − 4 ⋅169 ⋅3600 = 169 (2856 1− 14400) = = 1692 ⋅1416 1 = (169 ⋅119)2 = 2 01112.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR9x.gif)
Stąd
![1692 − 169 ⋅119 16 9− 1 19 25 t = ----------2-----= ---------- = ---- 2 ⋅169 2 ⋅169 169](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR10x.gif)
lub
![1692 + 169 ⋅119 169 + 119 14 4 t = ----------2-----= ----------= ----, 2 ⋅169 2⋅1 69 16 9](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR11x.gif)
czyli lub
. Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc
.
Sposób II
Wiemy, że
![r = -1-- = -2- ⇒ c = 13-r. c 6 ,5 13 2](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR15x.gif)
Stąd
![13r = c = (a − r) + (b − r) = a + b− 2r ⇒ b = 17r − a. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR16x.gif)
Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR19x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
![c2 = a2 + b2 ( ) 1-69 2 2 17- 2 2 28-9 2 2 4 r = a + 2 r − a = a + 4 r − 17ar+ a 0 = 2a 2 − 1 7ar+ 30r2.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR20x.gif)
Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 289r2 − 240r2 = 49r2 17r − 7r 5 17r+ 7r a = ---------= -r lub a = ---------= 6r. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR22x.gif)
Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe
![a 5r 5 a 6r 12 sin α = --= -2--= --- lub sin α = --= ----= ---. c 132 r 13 c 123r 13](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR23x.gif)
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
![{ 13 c = 2 r a+ b = 172 r.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR25x.gif)
Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
![2 2 289 2 a + b + 2ab = ----r 4 c2 + 2ab = 289-r2 4 169-2 289-2 2 4 r + 2ab = 4 r ⇒ ab = 15r .](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR26x.gif)
Mamy zatem układ równań
![{ a + b = 17r 22 ab = 1 5r](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR27x.gif)
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i
, ale sinusy, czyli liczby
i
. Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość
, a drugie przez
i mamy układ
![{ a b 17 c + c = 13 ac ⋅ bc = 61069.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR34x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
![x2 − 1-7x + -60- = 0 1 3 169 289 240 4 9 Δ = 169-− 169-= 169- 17 7- 17 -7 x = 13 −-13-= 5-- ∨ x = 13-+-13-= 12. 2 13 2 13](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR35x.gif)
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR38x.gif)
Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
![r+ -c+ x = 17-r+ x 2 4 -c 17- r+ 2 − x = 4 r− x.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR40x.gif)
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
![( ) 2 ( ) 2 17r + x + 17r − x = c2 = 169r2 4 4 4 289 17 289 17 169 ---r2 + ---rx + x2 + ----r2 − --rx + x2 = ---r2 16 2 16 2 4 2x2 = 33-8−--289r = 49r2 8 8 7- x = 4 r.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR41x.gif)
Zatem sinus mniejszego z kątów trójkąta jest równy
![147r− x 140r 5 --------= 13--= ---. c 2 r 13](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR42x.gif)
Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru
![a+ b− c r = --------- 2](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR43x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
![a+b−c- ( ) -1-- = -2-= r = --2---= a-+-b-−-c = 1- a-+ b-− 1 . 6 ,5 13 c c 2c 2 c c](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR44x.gif)
Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .
![2--= 1(sin α+ cosα − 1 ) / ⋅2 13 2 4-- 1-7 sinα + co sα = 1 + 13 = 1 3.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR46x.gif)
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
![17- 2 cosα = 13 − sin α / () 289 34 cos2α = ----− --sin α+ sin 2α 169 13 1 − sin2α = 289-− 34-sin α + sin2α 169 13 120 3 4 2 0 = ----− ---sin α+ 2sin α / : 2 169 1 3 0 = 6-0-− 1-7sin α+ sin 2α. 169 1 3](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR47x.gif)
Podstawiamy teraz i mamy równanie
![1 7 60 t2 − ---t+ ----= 0 1 3 169 Δ = 289-− 24-0 = -49- 169 16 9 1 69 17− 7- 5 17+ 7- 12 t = 13---13-= --- ∨ t = -13---13= ---. 2 13 2 13](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR49x.gif)
Zatem lub
. Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc
.
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na
i
.
![2sin αco sα = 120- ⇒ sin2α = 120- 169 ∘ -----169--- ------- ∘ ---------- 14400 ∘ 1 4161 119 co s2α = ± 1− sin 2α = ± 1− ------= ± -----2 = ± ---. 28561 169 169](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR56x.gif)
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale
już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że
. Mając obliczony
, możemy obliczyć
ze wzoru
![cos2α = 1− 2sin2 α 2 sin 2α = 1 − co s2α ∘ ----------- sin α = 1-−-cos-2α. 2](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR62x.gif)
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku
mamy więc
![∘ -------- ∘ ---- 1− 119 2 5 5 sin α = ----169 = ----= --- 2 169 13](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR65x.gif)
lub
![∘ -------- ∘ ---- 1+--111969- 144- 12- sin α = 2 = 169 = 13.](https://img.zadania.info/zad/9091055/HzadR66x.gif)
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Odpowiedź: