Zadanie nr 9091055
Dany jest trójkąt prostokątny . Przeciwprostokątna tego trójkąta jest 6,5 razy dłuższa niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta , który ma mniejszą miarę.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole.
Mamy zatem
Podzielimy teraz licznik i mianownik przez , tak aby móc skorzystać z równości i .
Podstawiamy teraz i mamy
Liczymy
Stąd
lub
czyli lub . Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób II
Wiemy, że
Stąd
Udało nam się więc wyrazić długości wszystkich trójkąta w zależności od i .
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
Traktujemy jak parametr i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Interesujące nas sinusy kątów ostrych są więc równe
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
Podnosimy teraz drugą z tych równości do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Mamy zatem układ równań
Możemy go rozwiązać, ale tak naprawdę nie potrzebujemy wartości i , ale sinusy, czyli liczby i . Dzielimy zatem pierwsze równanie przez równość , a drugie przez i mamy układ
Na mocy wzorów Viète’a oznacza to, że szukane sinusy są pierwiastkami równania kwadratowego
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób IV
Oznaczmy długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez .
Wiemy, że , zatem przyprostokątne mają odpowiednio długości
Pozostało teraz napisać twierdzenie Pitagorasa.
Zatem sinus mniejszego z kątów trójkąta jest równy
Sposób V
Tym razem skorzystamy ze wzoru
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Mamy więc
Zauważmy, że ułamki, które otrzymaliśmy z prawej strony to dokładnie funkcje trygonometryczne kąta .
Podniesiemy teraz tę równość do kwadratu, aby móc skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
Podstawiamy teraz i mamy równanie
Zatem lub . Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Sposób VI
Tak samo jak w pierwszym sposobie dochodzimy do równości . Tym razem jednak skorzystamy ze wzorów na i .
Zauważmy, że wprawdzie jest kątem ostrym, ale już ostry być nie musi – dlatego właśnie nie możemy założyć, że . Mając obliczony , możemy obliczyć ze wzoru
( jest kątem ostrym więc nie ma wątpliwości ze znakiem pierwiastka). W zależności od znaku mamy więc
lub
Interesuje nas mniejszy z kątów ostrych, więc .
Odpowiedź: