Zadanie nr 7056995
Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przekątnej długości jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i cosinusy jego kątów wewnętrznych.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość krótszej podstawy trapezu przez , długość ramienia przez
, a wysokość przez
.
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 20, to sumy te są równe po 10. W szczególności
![c = 5.](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR4x.gif)
Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość , a dwa pozostałe będą mieć długość
. W takim razie
. Liczymy teraz wysokość
z trójkąta prostokątnego
.
![2 2 ′2 h = AC − (AC ) h2 = 41 − 52 = 16 ⇒ h = 4 .](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR10x.gif)
Teraz liczymy pole trapezu.
![AB + CD 10 P = ----2-----⋅h = 2--⋅4 = 20 .](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR11x.gif)
Możemy też obliczyć .
![h- 4- sin ∡A = c = 5.](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR13x.gif)
Zatem
![∘ ------- ∘ -------2---- 1 6 3 co s∡A = 1 − sin ∡A = 1 − --- = -- 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR14x.gif)
oraz
![∘ 3- cos∡D = cos(1 80 − ∡A ) = − cos∡A = − 5 .](https://img.zadania.info/zad/7056995/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: Pole: , cosinusy:
i
.