/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu/Pole

Zadanie nr 8859518

Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy długość ramienia przez x , to krótsza podstawa ma długość 30 − x . Ponieważ będzie nas interesować jakie wartości może przyjmować x (dziedzina szukanej funkcji), zauważmy, że w tym miejscu musimy mieć x < 30 i jednocześnie x może być dowolnie bliskie 30 (skraca się krótsza podstawa).

Wiadomo, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe. W naszym trapezie są one równe 2x (suma długości ramion), więc dłuższa podstawa musi mieć długość:

2x− (30 − x) = 3x − 3 0.

Znamy sumę podstaw trapezu, pozostało nam więc wyliczyć długość jego wysokości. Zrobimy to z trójkąta prostokątnego AED .

Ponieważ EF = CD = 30 − x , odcinki AE = F B muszą mieć długość

AB-−--EF--= 3x-−--30−--30+--x = 2x − 30. 2 2

Zauważmy, że ten wzór daje nam kolejne ograniczenie na x : AB ma być dłuższą podstawą, czyli

0 < AE = 2x − 30 ⇒ 15 < x.

Jednocześnie powinno być jasne, że x może być dowolnie blisko 15 (dla x = 15 dostajemy kwadrat).

Liczymy wysokość

∘ ------------ ∘ ---------------- ∘ ----------------------------- h = AD 2 − AE 2 = x2 − (2x − 3 0)2 = (x − (2x − 30 ))(x+ 2x− 30) = ∘ ------------------ ∘ ------------------ = (30 − x)(3x − 30) = 3 (3 0− x)(x − 10).

Zatem pole jest równe

∘ ------------------ P = AB--+--CD- ⋅h = AD--+-BC--⋅h = x 3(30 − x)(x − 10). 2 2

Jak już ustaliliśmy po drodze, dziedziną tej funkcji jest przedział (15,30) .  
Odpowiedź: ∘ ------------------ P (x) = x 3(30− x)(x − 10) , DP = (1 5,30)

Wersja PDF