Zadanie nr 9283633
Odcinek jest dłuższą podstawą trapezu równoramiennego
opisanego na okręgu o środku
. Oblicz pole tego trapezu jeżeli
i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od szkicowego rysunku – oznaczmy promień okręgu wpisanego w trapez przez oraz
,
i
. Punkty
i
to rzuty punktów
i
na podstawę
, a
to środek odcinka
.
Zauważmy jeszcze, że kąt jest ostry (bo
), więc
![∘ ------- ∘ --- ∘ ------2--- 16- -9- 3- cos α = 1− sin α = 1− 25 = 25 = 5.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR14x.png)
Sposób I
Popatrzmy na trójkąt prostokątny . Znamy długość jego przeciwprostokątnej:
. Jesteśmy też w stanie obliczyć funkcje trygonometryczne jego kąta ostrego
![∡BAO = 1∡BAD , 2](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR17x.png)
więc widać, że da się obliczyć promień okręgu wpisanego w trapez. A dalej powinno być już łatwo. Zacznijmy więc od obliczenia
. Korzystamy ze wzoru
![cos2x = 1− 2sin2 x.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR20x.png)
Jeżeli przyjmiemy w tym wzorze , to mamy
![√ -- 2 α 1-−-cos-α 1−--35- 1- --5- sin 2 = 2 = 2 = 5 ⇒ sin α = 5 .](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR22x.png)
W trójkącie mamy więc
![√ -- √ -- √ -- 5 α r 5 6 5 ----= sin --= ---- ⇒ r = 6 ⋅----= -----. 5 2 AO 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR24x.png)
Popatrzmy teraz na trójkąt prostokątny . Mamy w nim
![√ -- 4- DE-- 2r- 12--5- 5- √ -- 5 = sin α = AD = c ⇒ c = 5 ⋅ 4 = 3 5.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR26x.png)
Wiemy też, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, więc
![√ -- a + b = c + c ⇒ a + b = 2c = 6 5.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR27x.png)
I to wszystko co jest nam potrzebne do obliczenia pola trapezu.
![√ -- √ -- PABCD = a+--b-⋅2r = 3 5 ⋅ 12--5 = 36. 2 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR28x.png)
Sposób II
Popatrzmy na trójkąt równoramienny . Znamy długość jego ramion. Ponadto
![∘ ∘ ∡AOB = 180 − 2 ∡BAO = 180 − α ∘ 3- cos∡AOB = cos(18 0 − α) = − co sα = − 5 .](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR30x.png)
Możemy więc zastosować twierdzenie cosinusów w tym trójkącie.
![a2 = AO 2 + BO 2 − 2AO ⋅BO ⋅cos ∡AOB a2 = 2AO 2 (1− cos∡AOB ) = 72 ⋅ 8-= 576- √ -- 5 5 24 24 5 a = √---= -----. 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR31x.png)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
![∘ --------- ∘ --- √ -- ∘ ----2-----2- 14-4 36- 6--5- r = SO = AO − AS = 36 − 5 = 5 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR33x.png)
Popatrzmy teraz na trójkąt prostokątny . Jego krótsza przyprostokątna to
![AB − CD a − b AE = ----------= -----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR35x.png)
Ponadto
![4 DE--= tgα = sinα- = -5 = 4- AE cos α 35 3 √ -- √ -- AE = 3DE = 3-⋅2r = 3-⋅ 6-5-= 9--5. 4 4 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR36x.png)
To pozwala nam obliczyć .
![√ -- a−--b-= AE = 9--5- / ⋅2 2 5 18 √ 5- 2 4√ 5- 18√ 5- 6√ 5- b = a − ------ = ------ − ------= -----. 5 5 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR38x.png)
Pole trapezu jest więc równe
![( √ -- √ --) √ -- a-+-b- 24---5 6--5- 6--5- PABCD = 2 ⋅2r = 5 + 5 ⋅ 5 = 36.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR39x.png)
Sposób III
Patrzymy na trójkąt prostokątny .
![AE = AB-−--CD--= a−--b- 2 2 4- 2r- 2- 5 = sin α = c ⇒ r = 5 c a−b- 3-= co sα = -2-- ⇒ a− b = 6c. 5 c 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR41x.png)
W trapez można wpisać okrąg, więc
![a+ b = 2c](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR42x.png)
Mamy więc układ równań
![{ 6 a − b = 5c a + b = 2c .](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR43x.png)
Dodajemy równania układu stronami i mamy
![16 8 2a = ---c ⇒ a = --c. 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR44x.png)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![2 2 2 AO = AS + SO ( a) 2 2 36 = 2- + r 36 = 1-6c2 + -4c2 = 20c2 /⋅ 25- 2 5 25 25 20 9⋅-25- 2 3⋅5- √ -- 5 = c ⇒ c = √ 5-= 3 5.](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR46x.png)
Teraz już łatwo obliczyć pole trapezu.
![P = a-+-b-⋅2r = 2c ⋅ 2-c = 4c2 = 4-⋅9⋅5 = 36. ABCD 2 5 5 5](https://img.zadania.info/zad/9283633/HzadR47x.png)
Odpowiedź: 36