/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu/Pole

Zadanie nr 9283633

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Odcinek AB jest dłuższą podstawą trapezu równoramiennego ABCD opisanego na okręgu o środku O . Oblicz pole tego trapezu jeżeli |AO | = 6 i sin ∡ABC = 45 .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od szkicowego rysunku – oznaczmy promień okręgu wpisanego w trapez przez r oraz AB = a , CD = b i AD = c . Punkty E i F to rzuty punktów D i C na podstawę AB , a S to środek odcinka AB .

ZINFO-FIGURE

Zauważmy jeszcze, że kąt α = ∡BAD jest ostry (bo AB > CD ), więc

∘ ------- ∘ --- ∘ ------2--- 16- -9- 3- cos α = 1− sin α = 1− 25 = 25 = 5.

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny ASO . Znamy długość jego przeciwprostokątnej: AO = 6 . Jesteśmy też w stanie obliczyć funkcje trygonometryczne jego kąta ostrego

∡BAO = 1∡BAD , 2

więc widać, że da się obliczyć promień r = OS okręgu wpisanego w trapez. A dalej powinno być już łatwo. Zacznijmy więc od obliczenia sin α2 . Korzystamy ze wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x.

Jeżeli przyjmiemy w tym wzorze x = α2 , to mamy

√ -- 2 α 1-−-cos-α 1−--35- 1- --5- sin 2 = 2 = 2 = 5 ⇒ sin α = 5 .

W trójkącie ASO mamy więc

√ -- √ -- √ -- 5 α r 5 6 5 ----= sin --= ---- ⇒ r = 6 ⋅----= -----. 5 2 AO 5 5

Popatrzmy teraz na trójkąt prostokątny AED . Mamy w nim

√ -- 4- DE-- 2r- 12--5- 5- √ -- 5 = sin α = AD = c ⇒ c = 5 ⋅ 4 = 3 5.

Wiemy też, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, więc

√ -- a + b = c + c ⇒ a + b = 2c = 6 5.

I to wszystko co jest nam potrzebne do obliczenia pola trapezu.

√ -- √ -- PABCD = a+--b-⋅2r = 3 5 ⋅ 12--5 = 36. 2 5

Sposób II

Popatrzmy na trójkąt równoramienny ABO . Znamy długość jego ramion. Ponadto

∘ ∘ ∡AOB = 180 − 2 ∡BAO = 180 − α ∘ 3- cos∡AOB = cos(18 0 − α) = − co sα = − 5 .

Możemy więc zastosować twierdzenie cosinusów w tym trójkącie.

a2 = AO 2 + BO 2 − 2AO ⋅BO ⋅cos ∡AOB a2 = 2AO 2 (1− cos∡AOB ) = 72 ⋅ 8-= 576- √ -- 5 5 24 24 5 a = √---= -----. 5 5

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny ASO .

∘ --------- ∘ --- √ -- ∘ ----2-----2- 14-4 36- 6--5- r = SO = AO − AS = 36 − 5 = 5 = 5 .

Popatrzmy teraz na trójkąt prostokątny AED . Jego krótsza przyprostokątna to

AB − CD a − b AE = ----------= -----. 2 2

Ponadto

4 DE--= tgα = sinα- = -5 = 4- AE cos α 35 3 √ -- √ -- AE = 3DE = 3-⋅2r = 3-⋅ 6-5-= 9--5. 4 4 2 5 5

To pozwala nam obliczyć b .

√ -- a−--b-= AE = 9--5- / ⋅2 2 5 18 √ 5- 2 4√ 5- 18√ 5- 6√ 5- b = a − ------ = ------ − ------= -----. 5 5 5 5

Pole trapezu jest więc równe

( √ -- √ --) √ -- a-+-b- 24---5 6--5- 6--5- PABCD = 2 ⋅2r = 5 + 5 ⋅ 5 = 36.

Sposób III

Patrzymy na trójkąt prostokątny AED .

AE = AB-−--CD--= a−--b- 2 2 4- 2r- 2- 5 = sin α = c ⇒ r = 5 c a−b- 3-= co sα = -2-- ⇒ a− b = 6c. 5 c 5

W trapez można wpisać okrąg, więc

a+ b = 2c

Mamy więc układ równań

{ 6 a − b = 5c a + b = 2c .

Dodajemy równania układu stronami i mamy

16 8 2a = ---c ⇒ a = --c. 5 5

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ASO .

2 2 2 AO = AS + SO ( a) 2 2 36 = 2- + r 36 = 1-6c2 + -4c2 = 20c2 /⋅ 25- 2 5 25 25 20 9⋅-25- 2 3⋅5- √ -- 5 = c ⇒ c = √ 5-= 3 5.

Teraz już łatwo obliczyć pole trapezu.

P = a-+-b-⋅2r = 2c ⋅ 2-c = 4c2 = 4-⋅9⋅5 = 36. ABCD 2 5 5 5

 
Odpowiedź: 36

Wersja PDF