Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2433168

Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu ma długość 5. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy krótszą podstawę trapezu przez a , ramię przez c a wysokość przez h .


PIC


Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 16, to sumy te są równe po 8. W szczególności

c = 4.

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe będą mieć długość 8−a-−a 2 = 4 − a . W takim razie  ′ AC = 4 . Liczymy teraz wysokość h z trójkąta prostokątnego  ′ AC C .

 2 2 ′2 h = AC − (AC ) h2 = 52 − 42 h2 = 9 ⇒ h = 3.

Promień okręgu wpisanego w trapez to połowa jego wysokości, zatem

r = 3-. 2

Promień okręgu opisanego możemy np. wyliczyć z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC .

 AC 5 5 20 10 2R = ----- = h-= 3-= --. R = --. sin B c 4 3 3

 
Odpowiedź: Okrąg wpisany: 3 2 , opisany: 10 3 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!