/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu/Oblicz długość...

Zadanie nr 6477045

Oblicz długości boków trapezu równoramiennego opisanego na okręgu, znając obwód trapezu 4p i długość d jego przekątnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy krótszą podstawę trapezu przez a , ramię przez c a wysokość przez h .

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 4p , to sumy te są równe po 2p . W szczególności

c = p.

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe będą mieć długość 2p−a2-−a = p − a . W takim razie AC ′ = p . Liczymy teraz wysokość h z trójkąta prostokątnego AC ′C .

h2 = AC 2 − (AC ′)2 2 2 2 h = d-−--p--- ∘ 2 2 h = d − p .

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AD ′D .

∘ --------------- ∘ ------- ∘ ------------- ∘ --------- AD ′ = AD 2 − (DD ′)2 = c2 − h2 = p2 − d2 + p2 = 2p2 − d2.

Zatem

′ ′ ′ ′ ∘ --------- AB = AC + C B = AC + AD = p + 2p 2 − d2 ∘ --------- CD = C ′D ′ = AC ′ − AD ′ = p − 2p2 − d2.

 
Odpowiedź: ∘ ---2----2 ∘ --2----2- p,p ,p+ 2p − d ,p − 2p − d

Wersja PDF