Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8241579

Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD . Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że |CK-|= 2 |KB | 3 .

  • Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
  • Oblicz cosinus kąta CBD .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


  • Jeżeli oznaczymy CK = 2x i KB = 3x , to z faktu, że odcinki stycznych poprowadzonych z punktu do okręgu są równe, mamy
    GC = CK = 2x ⇒ CD = 4x F B = BK = 3x ⇒ AB = 6x,

    gdzie G i F są odpowiednimi punktami styczności okręgu z podstawami trapezu. Jeżeli poprowadzimy wysokość CH , to mamy

    F H = GC = 2x ⇒ HB = 3x − 2x = x.

    Znamy zatem wszystkie boki trójkąta prostokątnego HBC i możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa.

    CH 2 + HB 2 = BC 2 2 2 2 4r + x = 2 5x 24x 2 = 4r2 √ -- 2 1-2 --6- x = 6r ⇒ x = 6 r.

    Zatem ramię ma długość

     √ -- 5--6- BC = 5x = 6 r

     
    Odpowiedź:  5√6 BC = -6-r

  • Żądany cosinus obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie BDC . Zanim jednak to zrobimy, musimy wyliczyć długość przekątnej BD . Patrzymy na trójkąt prostokątny BDL i mamy
     25 49 BD 2 = BL 2 + LD 2 = 2 5x2 + 4r2 = ---r2 + 4r 2 =--r2 √ -- 6 6 7 6 BD = -6--r.

    Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BDC .

    CD 2 = BC 2 + BD 2 − 2BC ⋅BD cos α 16 25 49 5 7 ---r2 = --r2 + ---r2 − 2⋅√---⋅ √--r2co sα 6 6 6 6 6 16 = 25 + 4 9− 7 0cos α 70co sα = 58 ⇒ co sα = 29. 35

     
    Odpowiedź: cos∡CBD = 29 35

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!