/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny opisany na okręgu/Oblicz długość...

Zadanie nr 9157143

W trapez równoramienny, który nie jest równoległobokiem, wpisano okrąg promieniu 4 cm. Ramię trapezu ma długość 10 cm. Punkty styczności okręgu z ramionami trapezu dzielą obwód trapezu na dwie częsci. Oblicz stosunek długości tych części.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy odległości punktów C i D od punktów styczności z okręgiem przez x , to odległości punktów A i B od punktów styczności z okręgiem są równe 10 − x . Patrząc na trójkąt prostokątny AED mamy

AE 2 + ED 2 = AD 2 (10 − 2x)2 + 82 = 1 02 2 (10 − 2x) = 3 6 10 − 2x = 6 ⇒ x = 2.

Zatem szukany stosunek wynosi

4(1-0−--x) 4-⋅8 4x = 8 = 4

 
Odpowiedź: 4 : 1

Wersja PDF