Zadanie nr 2518944
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz
, przy czym
. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Wiem, że trapez można wpisać okrąg, więc
![2AD = AD + BC = AB + CD ⇒ AD = a+--b. 2](https://img.zadania.info/zad/2518944/HzadR1x.png)
Ponadto
![b-−-a- AE = 2 .](https://img.zadania.info/zad/2518944/HzadR2x.png)
Napiszmy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![∘ (-------)2---(------)-2 ∘ ----2------2 a-+-b- b-−-a- h = AD − AE = 2 − 2 = ∘ ------------------------------ a2- b2- ab- a-2 b2- ab- √ --- = 4 + 4 + 2 − 4 − 4 + 2 = ab.](https://img.zadania.info/zad/2518944/HzadR4x.png)
Pole trapezu jest więc równe
![a+--b- a-+-b- √ --- P = 2 ⋅h = 2 ⋅ ab.](https://img.zadania.info/zad/2518944/HzadR5x.png)
Pozostało więc udowodnić nierówność
![a+ b √ --- 2 --2---⋅ ab > ab / ⋅√---- ab √2ab- √ --- 2 a+ b > ab = 2 ab /() 2 2 a + 2ab + b > 4ab a2 − 2ab + b2 > 0 (a − b)2 > 0.](https://img.zadania.info/zad/2518944/HzadR6x.png)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo ), a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.