Zadanie nr 8276899
Dany jest trapez równoramienny o obwodzie i podstawach oraz takich, że . Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna trapezu ma długość (zobacz rysunek).
Wykaż, że promień okręgu opisanego na trapezie jest równy .
Rozwiązanie
Oznaczmy , , . Dorysujmy też wysokości i trapezu.
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy , to sumy te są równe połowie obwodu. W szczególności
Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość , a dwa pozostałe mają długość . W takim razie
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie .