/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny opisany na okręgu/Udowodnij...

Zadanie nr 7262260

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S . Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego trapezu w punktach odpowiednio P i Q (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że |AP |⋅|DP | = |BQ | ⋅|CQ | .

Rozwiązanie

Odcinki AS i DS są fragmentami dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu, więc

∡SAD + ∡SDA = 1∡A + 1∡D = 1-(∡A + ∡D ) = 1-⋅18 0∘ = 90∘. 2 2 2 2

To oczywiście oznacza, że ∡ASD = 9 0∘ i trójkąt ASD jest prostokątny. Analogicznie uzasadniamy, że trójkąt BSC jest prostokątny.

Dorysujmy teraz promienie SP i SQ – zauważmy, że są to wysokości w trójkątach prostokątnych ASD i BSC .

ZINFO-FIGURE

Chcemy teraz skorzystać z faktu, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Fakt ten łatwo uzasadnić – wystarczy skorzystać z podobieństwa trójkątów prostokątnych AP S i SP D .

AP--= SP-- ⇒ SP2 = AP ⋅DP . SP DP

Mamy zatem

AP ⋅ DP = SP 2 = SQ 2 = BQ ⋅CQ .
Wersja PDF