Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7262260

W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S . Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego trapezu w punktach odpowiednio P i Q (zobacz rysunek).


PIC


Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że |AP |⋅|DP | = |BQ | ⋅|CQ | .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Odcinki AS i DS są fragmentami dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu, więc

∡SAD + ∡SDA = 1∡A + 1∡D = 1-(∡A + ∡D ) = 1-⋅18 0∘ = 90∘. 2 2 2 2

To oczywiście oznacza, że ∡ASD = 90∘ i trójkąt ASD jest prostokątny. Analogicznie uzasadniamy, że trójkąt BSC jest prostokątny.

Dorysujmy teraz promienie SP i SQ – zauważmy, że są to wysokości w trójkątach prostokątnych ASD i BSC .


PIC


Chcemy teraz skorzystać z faktu, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Fakt ten łatwo uzasadnić – wystarczy skorzystać z podobieństwa trójkątów prostokątnych AP S i SP D .

AP SP ----= ---- ⇒ SP2 = AP ⋅DP . SP DP

Mamy zatem

 2 2 AP ⋅ DP = SP = SQ = BQ ⋅CQ .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!