Zadanie nr 4705199

Na okręgu o promieniu 8 cm opisano trapez. Kąty, które tworzą ramiona z dłuższą podstawą mają miarę 30∘ . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Z podanych informacji wynika, że trapez jest równoramienny oraz jego wysokość ma długość 16 cm. Ponadto AB + CD = BC + DA (tę własność ma każdy czworokąt opisany na okręgu). Mamy

DE-- ∘ 1- AD = sin 30 = 2 ⇒ AD = 2DE = AD = 32 √ -- √ -- √ -- DE--= tg30 ∘ = --3- ⇒ AE = √3--DE = 3DE = 16 3. AE 3 3

Sposób I

Korzystamy teraz z równości AB + CD = BC + DA .

AE + EF + FB + DC = AD + BC 2AE + 2DC = 2AD AE + DC = AD √ -- 16 3+ DC =√32- DC = 32 − 16 3 √ -- √ -- √ -- AB = 2AE + DC = 32 3 + 32 − 16 3 = 32+ 16 3.

Liczymy teraz pole

√ -- √ -- P = AB-+--CD--⋅16 = 32+--16--3-+-32-−-16--3-⋅1 6 = 512 2 2

Sposób II

Pole dowolnego wielokąta opisanego na okręgu można obliczyć ze wzoru P = p ⋅r , gdzie – połowa obwodu, a – promień okręgu wpisanego w wielokąt. W naszej sytuacji r = 8 , a połowa obwodu to dokładnie AD + BC = 64 (dzięki równości AB + CD = BC + DA ). Zatem