Zadanie nr 7349701
W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku oraz obserwacji, że odcinek łączący środki ramion trapezu o podstawach i
ma długość
– uzasadnienie łatwo odczytać z prawego rysunku.
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy przeciwległych krawędzi są sobie równe. Jeżeli więc oznaczymy , to mamy
![AB = AD + BC − CD = 8 − a.](https://img.zadania.info/zad/7349701/HzadR5x.gif)
W szczególności odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość
![a-+-(8-−-a) = 4 . 2](https://img.zadania.info/zad/7349701/HzadR6x.gif)
Trapezy na które został podzielony trapez tym odcinkiem mają taką samą wysokość (połowa wysokości trapezu
) oraz podstawy
i
odpowiednio. Zatem stosunek ich pól wynosi
![5 a+4-⋅h a+ 4 ---= 4+28−a----= ------- 11 --2---⋅h 12 − a 5(12− a) = 11(a + 4) 60− 5a = 11a + 44 16a = 16 ⇒ a = 1.](https://img.zadania.info/zad/7349701/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: 1 i 7