Zadanie nr 8043601
W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary i
, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Z trójkątów prostokątnych i
możemy powyliczać długości odcinków
.
![DE-- = sin 30∘ = 1- ⇒ AD = 12 AD 2 -- AE √ 3 √ -- ---- = co s30∘ = ---- ⇒ AE = 6 3 AD √ 2- F-C- ∘ --3- 1-2- √ -- BC = sin 60 = 2 ⇒ BC = √ --= 4 3 √ -3 F-B-= cos6 0∘ = 1- ⇒ FB = 2 3. BC 2](https://img.zadania.info/zad/8043601/HzadR4x.gif)
Skorzystamy teraz z faktu, że jeżeli czworokąt jest opisany na okręgu to sumy przeciwległych boków są równe. Oznaczając mamy
![AD + BC = AB + CD √ -- √ -- √ -- 12 + 4 3 = (6 3+ a+ 2 3)+ a 2a = 12 − 4 √ 3- ⇒ a = 6 − 2√ 3.](https://img.zadania.info/zad/8043601/HzadR6x.gif)
Zatem podstawy mają długości
![√ -- CD = a =√-6 − 2 3√ -- √ -- AB = 6 3+ a+ 2 3 = 6 + 6 3.](https://img.zadania.info/zad/8043601/HzadR7x.gif)
Pole trapezu jest równe
![√ -- √ -- 6− 2 3+ 6+ 6 3 √ -- √ -- P = --------------------⋅6 = (6 + 2 3) ⋅6 = 12 (3+ 3). 2](https://img.zadania.info/zad/8043601/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: Podstawy:, pole: