/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 2786137

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD . Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′ , a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A′ . Wykaż, że ′ ′ |AA | = |BB | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że jeżeli przekątne trapezu przecinają się w punkcie S , to trójkąty ABS i CDS mają takie samy kąty, więc są podobne. W szczególności, jeżeli oznaczymy przez k skalę ich podobieństwa, to

AS = k ⋅CS i BS = k ⋅DS .

Sposób I

Zauważmy, że wystarczy udowodnić, że AB ′ = BA ′ , bo wtedy

AA ′ = AB ′ − A ′B ′ = BA ′ − A ′B′ = BB ′.

Aby to zrobić patrzymy na dwie pary trójkątów podobnych: AB ′S ∼ ABC i BA ′S ∼ BAD . Pierwsze podobieństwo daje nam:

′ AB--= AS--= ---k-⋅CS----= --k--- ⇒ AB ′ = --k---⋅AB . AB AC k ⋅CS + CS 1 + k 1+ k

Analogicznie, drugie podobieństwo daje nam

BA ′ BS k⋅ DS k k ---- = ----= ------------ = ------ ⇒ BA ′ = ------⋅AB . AB BD k⋅ DS + DS 1 + k 1 + k

Zatem rzeczywiście AB ′ = BA ′ .

Sposób II

Oznaczmy ′ AA = a , ′ ′ A B = x i ′ BB = b . Musimy oczywiście pokazać, że a = b .

Proste B′S i BC są równoległe, więc na mocy twierdzenia Talesa mamy

AB ′ AS -′--= ---- B B SC a-+-x-= k-⋅SC- = k. b SC

Analogicznie, z równoległości prostych ′ A S i AD mamy

′ BA---= BS-- A ′A SD b-+-x- k-⋅SD- a = SD = k.

W takim razie

a+ x b+ x ------= ------ b a a2 + ax = b 2 + bx 2 2 a − b + ax − bx = 0 (a − b)(a + b) + x(a − b) = 0 (a − b)(a + b + x) = 0 .

Wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie, więc mamy stąd a = b .

Wersja PDF