Zadanie nr 2978355
W trapezie (
) przekątne
i
przecinają się w punkcie
takim, że
. Pole trójkąta
jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu
jest równe 72.
Rozwiązanie
Zauważmy, że trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka
, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw
i
. W takim razie
![P = 1-P = 2 . DOC 5 AOD](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR5x.gif)
Zauważmy teraz, że trójkąty i
są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy ich skalę podobieństwa
![k = AO--= 5. OC](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR8x.gif)
W takim razie pole trójkąta jest równe
![PABO = k2PDOC = 25 ⋅2 = 50.](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR10x.gif)
Pozostało obliczyć pole trójkąta . Można to zrobić na różne sposoby.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i
mają wspólną podstawę
oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę. W takim razie trójkąty te mają równe pola, co pozwala obliczyć pole trójkąta
.
![PCOB = PDBC − PDOC = PDAC − PDOC = PAOD = 10.](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR16x.gif)
Pole trapezu jest więc równe
![PABCD = 10+ 2+ 10+ 50 = 72.](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR17x.gif)
Sposób II
Trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka
, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw:
. Mamy zatem
![PCOB = 5 ⋅COD = 10 .](https://img.zadania.info/zad/2978355/HzadR22x.gif)
Pole całego trapezu liczymy tak samo jak w poprzednim sposobie.