/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 3492745

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S . Przez punkt S poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach E i F . Wykaż, że |ES | = |SF| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ABS i CDS są podobne – rzeczywiście, z równoległości prostych AB i CD wynika, że mają one równe kąty. Oznaczmy ich skalę podobieństwa przez k , czyli

AS-- -BS- SC = SD = k.

Teraz patrzymy na trójkąt ABD . Jest on podobny do trójkąta ESD w skali

BD-- BS--+-SD- BS-- SD = SD = SD + 1 = k + 1.

Zatem

AB-- -AB--- ES = k+ 1 ⇒ ES = k + 1.

Dokładnie w ten sam sposób obliczamy długość odcinka SF , ale tym razem patrzymy na trójkąty podobne ABC i SF C .

AB AC AS + SC AB ---- = ---- = --------- = k+ 1 ⇒ SF = -----. SF SC SC k+ 1

Zatem rzeczywiście

AB ES = ------= SF. k + 1

Sposób II

Dorysujmy wysokości DK i CL trapezu. Trójkąty DES i DAB są podobne, więc

-ES--= AB-- ⇒ ES = AB--⋅DM . DM DK DK

Podobnie, z podobieństwa trójkątów CSF i CAB mamy

-SF- = AB-- ⇒ SF = AB--⋅ CN = AB--⋅DM = ES . CN CL CL DK

Sposób III

Patrzymy na trójkąty ASD i BSC .

PIC

Zauważmy, że ich pola są równe, bo

PASD = PABD − PABS = PABC − PABS = PBSC.

Liczymy teraz te pola w inny sposób.

PASD = PBSC PASE + PDES = PBSF + PCSF 1 1 1 1 -ES ⋅h2 + -ES ⋅h1 = --SF ⋅h2 + --SF ⋅h1 2 2 2 2 1ES ⋅(h + h ) = 1-SF ⋅(h + h ) / ⋅ ---2---- 2 2 1 2 2 1 h2 + h1 ES = SF .
Wersja PDF