/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 7535531

Dany jest czworokąt ABCD , w którym AB ∥ CD . Na boku BC wybrano taki punkt E , że |EC | = |CD | i |EB | = |BA | . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Sposób I

Oznaczmy ∡C = α . Wtedy ∡B = 180 ∘ − α . Ponieważ każdy z trójkątów ABE i DEC jest równoramienny mamy

∘ ∘ ∘ 1-80-−--∡B- 180-−--(180--−-α)- α- ∡AEB = 2 = 2 = 2 180∘ − ∡C 180∘ − α α ∡DEC = -----------= ---------= 90∘ − --. 2 2 2

Zatem

∡AED = 1 80∘ − ∡AEB − ∡DEC = 180∘ − α-− (90∘ − α-) = 90∘. 2 2

Sposób II

Tym razem oznaczmy ∡BAE = ∡BEA = β i ∡CDE = ∡CED = α . Jeżeli dorysujemy odcinek EF równoległy do podstaw trapezu, to mamy

∡F ED = ∡EDC = α ∡F EA = ∡EAB = β.

W szczególności

2α + 2β = 180∘ ⇒ ∡AED = α+ β = 90∘.
Wersja PDF