Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9971751

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych, a K i L środkami podstaw AB i CD .


PIC

Wiemy, że trójkąty ABS i CDS są podobne, oznaczmy skalę ich podobieństwa przez k . W takim razie jednokładność J o środku w S i skali − k przekształca trójkąt CDS na trójkąt ABS . W szczególności przekształca środek boku CD na środek boku AB . Zatem J(L) = K . To jednak oznacza, że środek S jednokładności leży na odcinku KL .

Sposób II

Niech L będzie środkiem podstawy CD , S punktem przecięcia się przekątnych, a K punktem wspólnym odcinków LS i AB . Zauważmy, że mamy dwie pary trójkątów podobnych: AKS i CLS oraz BKS i DLS . Z tych podobieństw mamy

AK CL DL BK ----= --- = ----= ----, SK LS LS SK

co oznacza, że K jest środkiem podstawy AB .

Sposób III

Teza jest oczywista dla równoległoboku, więc załóżmy, że trapez ma boki nierównoległe i niech E będzie punktem wspólnym zwierających je prostych.


PIC

Zauważmy, że jeżeli L jest środkiem odcinka CD to prosta EL jest środkową trójkąta DCE . Na mocy twierdzenia Talesa prosta ta dzieli każdy poziomy odcinek (tzn. odcinek równoległy do CD ), którego końce leżą na prostych AE i BE na dwie równe części. W szczególności prosta ta przechodzi przez środek K podstawy AB . Ponadto, jeżeli S jest punktem wspólnym tej prostej z odcinkiem PQ równoległym do CD i przechodzącym przez punkt przecięcia przekątnych to PS = SQ . Jednak jak wiadomo tę samą własność ma punkt przecięcia przekątnych trapezu. Zatem S musi być punktem przecięcia przekątnych.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!