Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3289877

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Dorysowujemy odcinek CE równoległy do AD .


PIC

Odcinek CE podzielił odcinek KL na dwie części, przy czym KM = b , a odcinek ML łączy środki boków w trójkącie EBC . Zatem

ML = 1EB = a−-b-. 2 2

Stąd

KL = KM + ML = b+ a−--b-= a-+-b-. 2 2

Sposób II

Niech  ′ D i  ′ C będą rzutami punktów D i C na prostą KL , a  ′ K i  ′ L niech będą rzutami punktów K i L na prostą AB . Trójkąty  ′ AK K i  ′ KD D są przystające, zatem AK ′ = KD ′ = x . Analogicznie z przystawania trójkątów CC ′L i LL ′B mamy C ′L = L′B = y . Mamy zatem

{ AB = KL + x + y CD = KL − x − y.

Dodając te dwie równości stronami mamy

AB + CD = 2KL ⇒ KL = a+--b. 2

Sposób III

Dorysujmy drugą kopię trapezu odbijając wyjściowy trapez w symetrii względem środka ramienia BC .


PIC

Otrzymamy w ten sposób równoległobok o podstawie AD 1 = a+ b , w którym odcinek KK 1 łączy środki ramion AD i A 1D 1 . Odcinek ten jest dwa razy dłuższy od interesującego nas odcinka KL . Zatem

 1 1 KL = 2-KK 1 = 2-(a+ b ).

Sposób IV

Zauważmy, że

( { −D→C = −D→K + −K→L + −L→C −→ −→ −→ − → ( AB = AK + KL + LB .

Dodając te dwie równości stronami mamy

−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ AB + DC = (DK + AK ) + 2KL + (LC + LB ) = 2KL

Ponieważ wektory  −→ AB i −→ DC są równoległe i mają ten sam zwrot powyższa równość oznacza, że

KL = a-+-b-. 2

Sposób V

Jeżeli trapez jest równoległobokiem, to zadanie jest banalne, więc przyjmijmy, że ramiona trapezu przecinają się w punkcie E oraz oznaczmy DE = x , AK = KD = y .


PIC

Z podobieństw trójkątów △EDC ∼ △EKL i △EDC ∼ △EAB mamy

{ x x+y- bx+by b = KL ⇒ KL = x xb = x+a2y ⇒ ax = bx + 2by ⇒ 2bx + 2by = ax + bx .

Podstawiając teraz z drugiej równości  ax+bx bx + by = --2-- do pierwszej mamy

 ax+bx- KL = bx-+-by- = ---2-- = a-+-b-. x x 2

 
Odpowiedź: a+2b-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!