Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4279347

W trapezie ABCD dane są długości podstaw: |AB | = 10 , |CD | = 5 i ramion: |DA | = 4 , |BC | = 7 . Oblicz długość przekątnej AC tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Sposób I

Oznaczmy AE = x . Piszemy twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AED i F BC .

 2 2 h = 1 6− x h2 = 4 9− (5 − x )2 = 49− 25 + 10x − x 2 = 24+ 10x − x2.

Porównujemy teraz  2 h z obu równości.

16 − x2 = 24 + 1 0x− x2 10x = −8 ⇒ x = − -8-= − 4-. 10 5

Otrzymana ujemna długość odcinka AE może wyglądać podejrzanie, ale tak naprawdę wszystko jest ok, ten rachunek próbuje nam po prostu powiedzieć, że wykonaliśmy zły rysunek - przy danych długościach boków trapezu punkt E znajduje się na lewo od wierzchołka A . Dokładnie tyle mówi nam ten wynik.


PIC

Łatwo sprawdzić, że przy poprawnym rysunku, otrzymamy x = 45 . Obliczamy teraz długość przekątnej – tak naprawdę wszystko którego rysunku i odpowiadającej wartości x użyjemy – wynik będzie ten sam. My patrzymy na drugi rysunek i bierzemy  4 x = 5 .

 ∘ ---------- ∘ ------------------- ∘ --------------- AC = AF 2 + h2 = (5 − x )2 + 16 − x 2 = 44-1+ 16 − 16-= ∘ --------- 25 25 425 √ -------- √ --- = ----+ 1 6 = 17 + 16 = 3 3. 25

Sposób II

Tym razem użyjemy twierdzenia cosinusów.


PIC

Oznaczmy ∡BAC = ∡DCA = α i napiszmy twierdzenia cosinusów w trójkątach ABC i ACD .

{ 72 = d2 + 102 − 2d ⋅10 cosα 2 2 2 4 = d + 5 − 2d ⋅5 cosα. { 2 20d cosα = d + 51 10d cosα = d2 + 9.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 i mamy

 2 2 2 √ --- 0 = d − 2d + 51− 18 ⇒ d = 33 ⇒ d = 3 3

Sposób III

Tym razem umieśćmy trapez w układzie współrzędnych. Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że A = (0,0) , B = (10,0 ) , D = (a,h) i C = (a + 5,h) . Podane długości ramion prowadzą w takiej sytuacji do równości

{ 16 = AD 2 = a2 + h 2 49 = BC 2 = (a + 5− 10)2 + h2 = a2 − 10a + 25 + h 2.

Jeżeli odejmiemy od drugiego równania pierwsze to mamy

33 = − 10a + 2 5 ⇒ 10a = − 8.

Obliczamy długość przekątnej

 ∘ ------------- ∘ ------------------- ∘ ---------------- √ --- AC = (a+ 5)2 + h2 = a2 + 10a + 25 + h 2 = 16 + (− 8) + 25 = 3 3.

 
Odpowiedź: √ --- 33

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!