/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Dane podstawy

Zadanie nr 5288968

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie S , jego podstawy mają długości |AB | = 12 i |CD | = 9 , a wysokość ma długość 8. Punkt K jest środkiem odcinka AS (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz stosunek pól trójkątów ABK i CDK .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez h = 8 wysokość trapezu, to

1 1 PABC = --AB ⋅h = --⋅12 ⋅8 = 48 2 2 P = 1-CD ⋅ h = 1-⋅9 ⋅8 = 36 . CDA 2 2

Trójkąty ABS i CDS mają takie samy kąty, więc są podobne. Znamy też ich skalę podobieństwa

k = AB--= 12-= 4. CD 9 3

Stąd

AK = 1AS = 1-⋅ 4-AC = 2-AC 2 2 7 7 2- 5- CK = AC − AK = AC − 7 AC = 7 AC .

Trójkąty KDC i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka D , więc

-PKDC- -KC- 5- 5- 5- 1-80 P = AC = 7 ⇒ PKDC = 7PADC = 7 ⋅36 = 7 . ADC

Analogicznie, trójkąty ABK i ABC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B , więc

PABK AK 2 2 2 96 P-----= KC--= 7- ⇒ PABK = 7-PABC = 7-⋅48 = 7-. ABC

Stąd

P 96 9 6 24 8 --ABK-= 1780-= ----= ---= --. PKDC -7- 180 45 15

 
Odpowiedź: -8 15

Wersja PDF