Zadanie nr 2757699

Ze środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku , wykreślono okrąg o promieniu . Oblicz pole części koła nie należącego do trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Przyjrzyjmy się trójkątowi równoramiennemu DSE . Uzasadnimy, że jest on równoboczny – można to zrobić na wiele różnych sposobów, my użyjemy funkcji trygonometrycznych. Zauważmy, że

FS 1FB FB sin ∡EDS = ---- = -31--- = ----= sin ∡CAB = sin 60∘. DS 3AB AB

Ponieważ kąt EDS jest ostry (jako kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego) mamy stąd

∡EDS = 60∘,

co oznacza, że trójkąt równoramienny DSE jest równoboczny. Inne możliwe sposoby uzasadnienia tej obserwacji to np. obliczenie długości odcinka z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DSF , albo zauważenie, że punkty dzielące boki trójkąta równobocznego na odcinki długości a 3 są wierzchołkami sześciokąta foremnego, którego wierzchołki leżą na interesującym nas okręgu.