Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2757699

Ze środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku a , wykreślono okrąg o promieniu a3 . Oblicz pole części koła nie należącego do trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Przyjrzyjmy się trójkątowi równoramiennemu DSE . Uzasadnimy, że jest on równoboczny – można to zrobić na wiele różnych sposobów, my użyjemy funkcji trygonometrycznych. Zauważmy, że

 FS 1FB FB sin ∡EDS = ---- = -31--- = ----= sin ∡CAB = sin 60∘. DS 3AB AB

Ponieważ kąt EDS jest ostry (jako kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego) mamy stąd

∡EDS = 60∘,

co oznacza, że trójkąt równoramienny DSE jest równoboczny. Inne możliwe sposoby uzasadnienia tej obserwacji to np. obliczenie długości odcinka DF z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DSF , albo zauważenie, że punkty dzielące boki trójkąta równobocznego na odcinki długości a 3 są wierzchołkami sześciokąta foremnego, którego wierzchołki leżą na interesującym nas okręgu.

Wycinek koła odpowiadający kątowi DSE ma pole

 1 (a )2 πa 2 P1 = -⋅ π -- = ----. 6 3 54

To oznacza, że odcinek koła odpowiadający temu samemu kątowi (tzn. obszar zacieniowany na rysunku) ma pole

 (a) 2√ -- √ -- ( √ --) πa-2 -3-----3- πa2- a2--3- a2- π- --3- P 2 = P1 − PDSE = 54 − 4 = 5 4 − 36 = 18 3 − 2 .

Pole interesującego nas obszaru jest 3 razy większe, więc wynosi

 ( √ -) a 2 π 3 3P2 = --- --− ---- . 6 3 2

 
Odpowiedź:  2 ( √-) a6 π3-− 23-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!