/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 3000931

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30∘ . Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta?

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że

∡CBA = 180∘ − ∡BCA − ∡CAB = 18 0∘ − 60∘ − 30∘ = 90∘.

Zatem trójkąt ABC jest prostokątny i mamy

a- ∘ 1- b = sin30 = 2 ⇒ b = 2a.

Liczymy teraz stosunek pola dużego trójkąta do pola małego trójkąta.

√- (a+b)2-3 (a+ b)2 (a+ b )2 (a + 2a)2 9a2 ----42√---= -----2-- = -2----2-= ---2----2-= --2-= 3 . AB-4-3 AB b − a 4a − a 3a

Zatem pole dużego trójkąta stanowi 300% pola małego trójkąta.  
Odpowiedź: 300%

Wersja PDF