/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 3000931

Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30∘ . Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że

∡CBA = 180∘ − ∡BCA − ∡CAB = 18 0∘ − 60∘ − 30∘ = 90∘.

Zatem trójkąt ABC jest prostokątny i mamy

a- ∘ 1- b = sin30 = 2 ⇒ b = 2a.

Liczymy teraz stosunek pola dużego trójkąta do pola małego trójkąta.

√- (a+b)2-3 (a+ b)2 (a+ b )2 (a + 2a)2 9a2 ----42√---= -----2-- = -2----2-= ---2----2-= --2-= 3 . AB-4-3 AB b − a 4a − a 3a

Zatem pole dużego trójkąta stanowi 300% pola małego trójkąta.  
Odpowiedź: 300%

Wersja PDF